1樓：天下無難課
跟 @不會游泳的魚丸
增加一點俗話說。
首先要明白AB=C從向量組合的角度看是一件啥事情。
AB=C，就是用A裡的向量(a,a,…a)為基，以B裡的向量(b,b,…b)為係數，做了n次組合，第一次得到向量c，第二次得到向量c，…第n次得到c。再把這n個向量框到一起，形成向量組C。要注意，在這個AB=0裡，0不是乙個數，0是指零矩陣，是[0]的意思，C是由n個零向量組成的。
現在題主問，在C為0時，A,B會是啥情況。
1.或A為零，或B為零，或A,B都為零。
這個推論很無聊的，都是零或有乙個是零，乘積就是零，這有啥好說的？確實真沒啥好說的，但它也是一種可能性不是？咱們提推論，就不能把這可能性漏了，對吧？你敢說沒這可能？
其實還真是有A或B不得不為零的情況。比如A不為零，且滿秩，以上矩陣乘法其實就變成n個齊次方程組，把C=AB拆開，得到：
c=Ab=0
c=Ab=0
c=Ab=0
其中c和b都是向量，這就是n個齊次方程組。乙個齊次方程組在A滿秩時就只有零解，就是b們都必須是零向量。所以，若A滿秩，B就必須是零矩陣(由n個零向量組成)。
2.那A,B能不能不為零？當然能啦！如果A,B不為零而又C=0，那就必須是A,B都不滿秩了。這個咋說呢？
比如若A不滿秩，則在B(b,b,…b)中各個向量都不為零向量的情況下，Ab=0，Ab=0，…Ab=0可以都成立。道理簡單的，齊次性方程組在A不滿秩時有一系列非零解(零向量當然也是乙個解當然)，結果C=(Ab,Ab,…,Ab)=(0,0,…0)=[0]=0，妥妥的。
A不為零，B也不為零，但就是可以AB=0，只要A不滿秩即可。
3.A的秩與B的秩在數量上此消彼長的關係。
開始已經說過，雖然A,B的個頭一樣，還都不為零矩陣，但細究起來，二者的身份還是有區別的。A是乙個齊次性方程組的係數矩陣，而B是這個齊次性方程組的若干(n個)非零解(同屬乙個解系)的組合；A的秩就是A所張成的子空間的秩，而B的秩序就是A的齊次性方程組非零解系的秩。
補：跟 @趙甡
把null空間這個概念連線過來，這個好，幫助理解解系的空間。
null空間就是A張成不到的那個空間，當A為滿秩時，A可以張成整個n維空間，沒有張不到的地方，null空間就為0，AB=0就只有B＝0這一種可能。但A不滿秩時，A就只能張成n維空間裡的乙個子空間，n維空間裡的其它非A空間(不為0)中與A正交的空間就是A的null空間。在這個null空間裡，所有的向量與A的乘積都為零。
B可以在這個空間裡，實際上就是指B裡的向量可以落在這個空間裡。
這個null空間一不為零(B不為零)，二與A空間正交(B裡的向量往A空間的投影都為零)，則AB=0了。
B在A的null空間中，但在null空間中的向量不止B裡的那幾個，還有很多其它的向量可以組成矩陣C,D,E…，這些矩陣都能被A左乘而＝0的。
A不滿秩時，非A空間就不為零，而其中與A正交的空間就是null空間。這時可以區分出4個空間來，n維全部空間，其中的A空間，非A空間和A的null空間。
Jacobian矩陣和Hessian矩陣的作用是什麼？
一般說jacobian矩陣是指向量對另外乙個向量的一階導數。而Hessian矩陣是乙個標量對乙個向量的二階導數。前者在離散pde 中常用，後者在優化中常用，但是都是作為線性或者非線形系統的係數矩陣,即A x b。在優化中根據hessian的特性 nonsingularity,indefinitene...
若A是m n矩陣，B是n s矩陣，AB O，則r A r B n。從幾何直觀上如何理解？
天下無難課 本問的情況與齊次方程解空間的秩有類似處。對於n階矩陣A，若A不滿秩，則Ax 0除零解外，還有無窮多非零解，這些解構成乙個解空間，這個解空間的秩q與A的秩r之間有r q n的關係。從解空間裡面選一組解向量構成乙個同階矩陣X，則AX 0。根據矩陣秩與解空間秩的關係，就有r A r X n了。...
從矩陣A中劃去一行得到矩陣B，如何證明R（B） R（A） 1？
曾笮 需要用到秩有關的不等式 對任意AB，r AB r A r B n 證明 設A為m n的矩陣，B為A劃去第k行的矩陣。令C為單位矩陣Im劃去第k行的矩陣，則有B CA，r B r CA r C r A m。顯然r C m 1，代入即可。 hello world 什麼是秩，就是線性無關的行的個數或...