1樓：天下無難課
本問的情況與齊次方程解空間的秩有類似處。
對於n階矩陣A，若A不滿秩，則Ax=0除零解外，還有無窮多非零解，這些解構成乙個解空間，這個解空間的秩q與A的秩r之間有r+q≤n的關係。
從解空間裡面選一組解向量構成乙個同階矩陣X，則AX=0。根據矩陣秩與解空間秩的關係，就有r(A)+r(X)≤n了。再設X=B，就得到r(A)+r(B)≤n的表示式了。
啥時候等於，啥時候＜呢？假設q≥2，這時對X中向量的選擇會導致X在秩上的差異。以q=2為例，如果你選共線的解向量來構造X，這就是乙個秩為1的矩陣，設為X，就有r(A)+r(X)＜n的情況；若選的解向量不共線，能夠構成解空間的乙個極大組，這時的X就是乙個秩為2的矩陣X，就r(A)+r(X)=n了。
兩項合併，通式為：r(A)+r(X)≤n。
這個情況對q≥2時都成立，但在q=1時，則只有r+q=n這一種結果。
本問的矩陣是異型的，與上述解空間之間的異同如何？還沒想清楚。
續：對於A為m*n矩陣和B為n*s矩陣這種非同階方陣相乘的一般性情況，若A瘦高，m＞n，A的秩≤n，若A矮胖，m＜n，A的秩≤m＜n；對於B，矮胖，則rB≤s＜n，瘦高則rB≤n＜s。如此，1≤rA≤n-1，1≤rB≤n-1，這個範圍限制使得非方陣AB=0下的rA和rB的關係處在n階方陣AB=0的條件下rA和rB關係的範圍裡。
2樓：Alepha E
幾何直觀不太好描述，我乾脆給你乙個幾何直觀的「描述」。
因為「線性」所帶來的好處就是：把空間上的座標用「幾條」域 的線來有序組合的表示。
那麼基於這一點，乾脆對線性對映的分析轉化為對「線頭」的分析。
（注意：這裡只是用個比較直觀的方法來描述，細節的東西有所取捨）
假如給你乙個仿射空間，以及上面的乙個點，比方說
那麼 ，就可以用三個線頭來代替：
上面的點就是
然後，為了表示矩陣
可以用圖
來表示（畢竟線性運算元可以把空間中任意一點通過齊次化來拉到單位元上，然後根據有限維空間，找到對應無關的向量進行表示即可。）
於是乎，忽略一定的細節。這道題，就有了
依題意，對映 ，從而
同樣，就有 ，根據線性運算元的特性，顯然有 ,
於是，合併起來
從題外角度來看，
可以看做是這樣乙個過程：
倘若是 能把 給打滿了，那麼程上面這個過程是在 處Ext（正合）
如果 單， 滿，那麼就是短正合，於是上面的序列在
情形下也可成立。（ps，(Short)ExtSeq表示「（短）正合序列」的這個抽象類，上面意思是，左邊的序列滿足短正合序列的特點）
舉幾個簡單例子：
（ ）有時候常見這個例子
此時，肯定有 ，
but，，正合的條件我忘了。。。就這些了。。。
不過，發現沒，
所以，回想這個問題，你能想到什麼？
3樓：zhzhwz
@段翔 的答案說得很清楚了。這裡提供一種從線性變換的角度證明這個結論的方法，基本思路和他的說法是一樣的。
設 ， 分別是 ， 的線性變換，它們對應的矩陣分別為 和 。 說明 。即： 。這說明 ，則 。而 ，代入上式得 ，整理得 。由於 ， ，就有 。
4樓：草帽是帽子
按線性代數去描述.Ax=0的解空間的維度等於n-R(A),B中每一列都是Ax=0的乙個解，所以B的列極大無關組大小（等於秩）不超過n-R(A)，所以R(A)+R(B)≤n.
不知道你所謂的幾何直觀是指什麼。
人可以直觀的想象出來的幾何空間最大只有三維。
將A按行分塊，每一行是乙個n維行向量。
B按列分塊，每一列都是乙個n維列向量。
由條件，A中行向量與B中列向量垂直。
所謂秩，直接定義是極大無關組的大小，也等於行或列構成的線性空間的維度。
A行向量構成的線性空間的正交補空間維度為n-R(A)，顯然B的每個列向量屬於這個補空間，線性空間的子空間維度不大於其本身的維度。所以有同樣的結果。
以三維為例，假設A行矢在同乙個麵內，即A對應的線性空間是二維，如果B的要與其垂直，只能在這個面的法線上，或者直接是0向量。
其實這個公式是sylvester公式的特例，R(AB)+n≧R(A)+R(B)
5樓：
不用凡事都找幾何直觀，像這類問題你理解不到位的話，說明你對線性方程組和矩陣的關聯這一部分學的並不透徹，還要努力！
AB=0表明B的每個列向量都落在AX=0的解空間裡，所以B的列秩不超過上面方程組解空間的維數=n-A的秩。
希望題主早日精通線代，加油！
6樓：段翔
B把s維空間壓縮為r（B）維空間；A需要把這r（B）個維數壓縮掉，而不必把剩下的不在B的像中的維數壓縮掉，故r（A）至多為n-r（B）
矩陣A BC,若 A, B可逆， C可逆嗎？
陳憶秋 nullA nullB null BC 設v nullC，則Cv 0 nullB，則B Cv BC v 0 因此v null BC 即v 0因此nullC C是單射運算元 有限維空間的運算元單性包含滿性，因此C可逆 天下無難課 簡答先 C可逆。囉嗦後 憑啥這麼說？從A BC可知，A空間是乙個...
設矩陣A和B為n n矩陣，由AB 0，能推出哪些結論？
天下無難課 跟 不會游泳的魚丸 增加一點俗話說。首先要明白AB C從向量組合的角度看是一件啥事情。AB C，就是用A裡的向量 a,a,a 為基，以B裡的向量 b,b,b 為係數，做了n次組合，第一次得到向量c，第二次得到向量c，第n次得到c。再把這n個向量框到一起，形成向量組C。要注意，在這個AB ...
怎麼證明若A是乙個可逆矩陣，若矩陣H滿足 H A 1 1，則A H可逆。
王箏 鑑於另乙個答案的問題，我先明確一些定義。本來這些定義都是眾所周知的。假設 是線性空間，我們稱 是 上的乙個範數，如果滿足 正定 範數大於等於零，等於零當且僅當零元素 齊次 乘常數的話範數也乘該常數的模 三角不等式 額外地，如果我們假設 是個代數 有乘法結構，有單位 那麼我們稱這個範數是sub ...