1樓：
你可以這麼理解。
首先指數函式最重要的意義是什麼？其導數是其本身的倍數。這確實非常方便，尤其做微分方程的時候。
現在我們想把定義域換成矩陣。我們的目的是構建出f(At)使得f』(At)=Af(At)。這也會讓很多計算大大化簡。
最後就構建出了這麼個玩意。
然後我們還可以證明所有其他符合f』(At)=Af(At)的函式都是同乙個函式。
所以不需要太在意表達形式，反而其性質比較重要
2樓：北月南湖
不嚴謹地說明，應當叫做模擬
首先，是有指數函式的級數展開
再有方陣的冪 ，但現在方陣的冪 是多少我們不知道，所以暫且放一下。
所以根據指數函式的級數展開，以及方陣的冪，我們模擬可以得到
這就是矩陣的指數函式，不嚴謹地說就是通過模擬得到的定義，它求出來還是乙個矩陣。
現在我們回到方陣的冪，直覺告訴我們這東西很難算，實際上這東西確實硬算也非常難算。但是我們可以通過聯絡以前的概念來進行簡化計算。
一方面，我們還記得學特徵值和特徵向量的時候，如果有方陣階數那麼多的線性無關的特徵向量的時候，方陣可以分解為對角矩陣，即 ，其中 就為特徵值組成的對角矩陣。
所以對角分解之後的方陣的冪 ，而 即為對應的特徵值的冪而已，因此這個簡化計算是非常可行且適用的。
另一方面，不是所有方陣都恰好有足夠的線性無關的特徵向量，於是該方陣就不能對角化，但是沒有關係，聰明的數學家想出了很好的辦法，那就是Jordan標準型。
聰明的數學家發現所有方陣均可以轉化為Jordan標準型，也就是，中間那個跟對角矩陣非常像，具體長什麼樣可以自己去看。
所以Jordan標準型的冪也可以輕鬆求解，。至於中間那個怎麼算的，還記得我說過跟長得很像嗎？所以聰明的數學家通過簡單的推導就得出了那個的計算公式了，具體是怎麼算的自己去看矩陣論。
到現在為止，邏輯順序應該是：先有指數函式的級數展開→標量的冪和方陣的冪進行模擬→方陣冪的簡化計算。數學家的思考順序就是這個邏輯，應當是先有什麼樣的問題，然後為了解決對應的問題怎麼從已有的結論入手或者尋找新的方法。
但是國內一些教材給出的學習的順序完全是從後往前，這點讓我非常迷惑。
3樓：半個馮博士
通常用於：
向量 表示系統的狀態（比如位置）， 表示系統的輸入（比如力）是狀態對時間的導數，兩個矩陣分別是係數矩陣。
而樓主提到的具體情況，只需要展開計算就是了。一般來說算個幾項，值就會比較穩定了。
4樓：跟類似，對矩陣指數函式也有。乙個例子：
考慮常微分方程
我們知道解為。如果用前向尤拉法並以為步長，則對應迭代為如果用後向尤拉法並同樣以為步長，則對應迭代為（即）
5樓：西貝
我們來弄清楚兩個問題：
第一矩陣函式的定義是什麼？第二矩陣函式的微分的定義是什麼？這兩個問題清楚後，我們就會明白矩陣的指數函式及其微分是什麼了。
矩陣的函式定義為矩陣中每乙個元素的函式：即
例如,而矩陣微分的定義為矩陣中每個元素的微分：即
例如，知道了矩陣函式及其微分的定義後，題主關於矩陣的指數函式的定義與形式迎刃而解。
6樓：具體的指數函式都可以從指數對映來考慮。
對於一般實線性群GL(n,R),關於矩陣乘法是個李群，I是其中的單位元，它的李代數是gl(n,R)是n×n實矩陣全體。
對於任意X∈gl(n,R)
設exp_(t)是它的積分曲線，
可以推得
(d(exp_)/dt)_=exp_(s)X(d(exp_)/dt)_=X
這兩條性質，
我們定義這個對映為關於矩陣的指數函式，並可由此推出它的級數形式的表示式。
7樓：我記得上面回答的都是時域的方法，
求fan＝exp（F＊t），還有乙個頻域方法是L-1是拉普拉斯反變換
（上面這個是卡爾曼濾波中連續方程離散化的式子）
8樓：Yandong Yin
數學上前面應該已經解釋的差不多了，我可以補充乙個實際用到矩陣指數的例子。文獻可戳
簡單說來就是如果有乙個處於平衡態的化學反應
A到B的反應速率常數為,B到A的反應速率常數為,A，B各自的擴散係數均為。
那麼對於相對整個反應體積(比如乙個100mL燒杯)而言無限小的乙個區域性範圍，其物質A與物質B的區域性濃度漲落的方程組可以寫為：
寫成矩陣形式即為
求解這個方程，就會遇到矩陣函式，求解過程完全反映前面王箏的答案，也可以從這個具體的例子中體會矩陣指數的意義。
9樓：yuyu
根據定義就可以了，如果，那麼
最後得到乙個的矩陣，因為是乙個收斂的實數級數（根據比較判別法就可以了），所以它是乙個實數，但我們一般並不關心這個具體的數值。具體計算可以見 @王箏 的方法。
10樓：qfzklm
你已經寫好了關於矩陣的指數函式的定義了，就是那個第乙個表示式。
先把那個t忽略掉，這個是指數函式的定義。跟我們定義在實數（複數）域山的指數函式沒有什麼不同，就是將矩陣對映為矩陣而已。
樓上已經有人貼了計算這個對映的象的技巧了，在此就不贅述了。
11樓：玟清
其實就是一種矩陣冪級數的記號，仿照實數或複數的情況。然後，發現這樣的記號滿足少數簡單的指數函式的運算性質。矩陣函式都是這樣推廣來的。
能這樣寫，主要是基於矩陣自乘是可交換的，以及收斂性。
但是常用的很多冪指數函式的性質對矩陣情況是不成立的，因為不同矩陣相乘不具有交換性。
12樓：王箏
\begine^\lambda&e^\lambda/1!&e^\lambda/2!&\cdots&e^\lambda/(n-1)!
&e^\lambda/n!\\0&e^\lambda&e^\lambda/1!&\cdots&e^\lambda/(n-2)!
&e^\lambda/(n-1)!\\ &&&\cdots\\0&0&0&\cdots&e^\lambda&e^\lambda/1!\\0&0&0&\cdots&0&e^\lambda\end" eeimg="1"/>
Rk. 事實上，因為，時常也會直接計算，那麼對於Jordan塊，同樣可以計算
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