1樓：趙莉莉
這個問題十分好，因為我曾經也為此困擾了不少時間。
題主的例子中，有乙個關鍵性的錯誤，就是，如果我們定義乙個對映
其中 ，。
那麼，實際上對於任何子集 ，那麼其原像實際上是 在反關係（inverse relation）下的像，即 ，有些書上也寫作 。當然，上述 的反關係並不是乙個對映，但是沒有關係，連續對映的定義中從沒有提及 的反關係必須是乙個對映。
其次，題主的反例中也缺少一些條件。即題主並沒有說此處的函式的域和上域究竟處於何種空間。但是，我也知道，通常不說，就代表它們都是歐幾里得空間。
明確這些條件之後，題主甚至可以不從 的值域中選取開集，你甚至可以選取 這樣的開區間，由此，你會發現
如果題主的預設拓撲為歐幾里得拓撲，顯然任何乙個 都是開集，則根據開集公理，原像 是乙個開集。其次，如果你選取的是閉集，例如 ，其結果就是這個閉集在 下的原像同樣是乙個閉集。例如，
當然，我們知道閉集未必需要對無限並集封閉，因此，我們將這個原像重寫為
由於開集對任意並集是封閉的，因此，根據德摩根定理，閉集對任意交集是封閉的，因此 是乙個閉集。
趙莉莉：點集拓撲學｜7. 對映的連續性與極限
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