1樓：
斗膽回答一下，前段時間重溫線性代數，這裡正好複習總結一下。
矩陣之間有三種典型關係：相似（similar），等價（equivalent），合同（congruent），各自的定義分別為：
和 等價 存在可逆矩陣 和 使得 ;
和 相似 存在可逆矩陣 使得 ;
和 合同 存在可逆矩陣 使得 ;
其中等價關係最弱，如果兩個矩陣相似或者合同，那麼一定也等價，反之則不成立。因為初等變換不改變矩陣的秩，所以秩是等價變換的不變數，故而僅僅通過秩是無法判斷兩個矩陣是否相似的。
兩個矩陣如果相似，則一定有相同的特徵多項式和相同的特徵值：
反過來是否成立不清楚（個人覺得反過來不成立，但未在書上看到嚴格證明）。
因為 階矩陣相似於對角陣的充要條件是這個矩陣有 個線性無關的特徵向量。因此，如果兩個矩陣的特徵值相等，而且都各自有 個線性無關的特徵向量，那這兩個矩陣就必然相似了，並且此時它們的相似標準形是同乙個矩陣。另外，矩陣屬於不同特徵值的特徵向量是線性無關的，這也給出乙個從特徵值和特徵向量來判斷兩個矩陣是否相似的條件（見下面的總結）
結論：秩相等是兩個矩陣相似的必要不充分條件；
特徵值相等是兩個矩陣相似的必要條件，是否充分條件不清楚；
兩個 階矩陣，如果特徵值相等並且都有 個線性無關的特徵向量，那麼它們相似，並且有相同的相似標準形；
兩個 階矩陣，如果特徵多項式相同（意味著有相等的特徵值），並且特徵多項式沒有重根（意味著任一乙個矩陣都有 個兩兩不等的特徵值），那麼它們相似（因為此時結論3中的條件成立）。
推薦一本書：《線性代數的幾何意義》，任廣千，謝聰，胡翠芳著，西安電子科技大學出版社。這本書把線性變換、線性代數的實質講得很清楚，也很好懂，個人認為是國內難得一見的優秀線性代數教材。
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