1樓：sleepcat1218
結合知乎上@八度淺離的例子說明矩陣的左乘和右乘
在第乙個例子中，座標繫不動，向量V分別旋轉3次，第一次為R1，第二次為R2，第三次為R3，那麼最後的向量V』=R3R2R1V。可以這樣理解，座標系一直是大地座標系I，那麼第一次旋轉是在I的語境下對V進行R1的運動，所以旋轉後為IR1V即R1V；第二次旋轉是在I的語境下對R1V進行R2的運動，所以旋轉後為IR2R1V即R2R1V；第三次旋轉是在I的語境下對IR2R1V進行R3的運動，所以旋轉後為IR3R2R1V即R3R2R1V；
第二個例子中，座標系是運動的，向量也分別旋轉3次，第一次是R1，之後以自身座標系進行第二次旋轉R2，再之後以自身座標系進行第三次旋轉R3。那麼最後的向量V』』=R1R2R3V。可以這樣理解，座標第一次是大地座標系I,第一次旋轉後為IR1V即R1V，第二次是在R1的語境下進行R2運動，所以第二次旋轉後為R1R2V，第三次旋轉是在前兩次旋轉後的語境下進行R3操作，所以第三次旋轉後為R1R2R3V，所以V』』=R1R2R3V。
由上可以看出，矩陣相乘，首先要宣告是在哪個語境下，再在那個語境下進行運動的操作。矩陣乘在左邊還是乘在右邊，要看宣告的語境，即座標系。
一般的說法座標變換左乘和基變換右乘，是另一回事。因為座標變換可看作是y=kx，即向量在新座標系下的表達，將變換矩陣乘在向量的左邊。而基變換右乘，一是因為基向量一般寫成行向量，右乘乙個矩陣才有意義，另外就是可以認為新基在舊基上投影的係數，所以y』=xk』，所以是舊基右乘乙個矩陣。
我們可以令Ma=Nb，也就是說在M矩陣語境下的a向量和在N語境下的b向量是一樣的，那麼當N為大地座標系I時，上式變為Ma=Ib即Ma=b，即座標變換為左乘過渡矩陣。反過來，我們想知道M矩陣和N矩陣的關係，可以令a為單位向量1，上式變為M=Nb，即從M座標系轉為N座標系（基）需要右乘乙個向量b，同理如果令b為單位向量1，那麼Ma=N，即從N座標系轉為M座標系（基）需要右乘乙個向量a。所以說基變換是右乘過渡矩陣，即y』=xk』。
2樓：阻住
上面幾位大牛已經解釋的很好了，我總結一下，首先要搞明白兩個問題：
1、已知什麼？求什麼？
2、旋轉矩陣表示什麼含義？
圖1：每次旋轉都從當前座標系分身出乙個新座標系，向量P隨新座標系一起旋轉，已知P2在的座標，怎麼求P2在的座標？只能從最後一次旋轉開始逐次回溯，按照矩陣乘法從左至右的規則，就應是R1xR2xP2。
圖2：類似的，每次旋轉都從固定座標系分身出乙個新座標系，向量P隨新座標系（虛線部分）一起旋轉，每次旋轉完成後，新座標系都功成身退隱去了，P重新交予管轄，參考座標系自始至終只有。已知P0，怎麼求P2在的座標？
當然是R2xR1xP0了。
3樓：
從旋轉矩陣的傳遞性（）就可以解釋。
右乘的情況比較容易理解：如果原本的物體座標系是b，旋轉後是b'的話， 右乘的 可以理解為 ，就是新的座標系b『相對於物體座標系b的旋轉，對應的旋轉軸是在b中表達的。
左乘的話可以假想存在乙個座標系s'，一開始和固定座標系s重合；同時假設b和s'是黏連在一起的。這個時候旋轉s'，b就會和s』一起動，旋轉後的b就成了新座標系b'。同時由於b相對於s'並沒有動，所以 。
於是，b『相對於固定座標系s的旋轉就可以寫成 。這裡 就是右乘的旋轉矩陣，反映了s'相對於固定座標系s的旋轉。如圖：
4樓：Hsin
變換矩陣的用途就是「翻譯」向量：已知末端區域性座標系下的任意向量，將其左乘變換矩陣，就可以得到基座標係下這個向量的值。而變換矩陣合成過程中矩陣之間的左乘和右乘本質上就是線性變換和基變換兩種視角的切換：
變換矩陣右乘時相當於 ， 是座標繫在基座標係（標準正交基）下的描述，而 是座標繫在座標系下的描述，最後 是乙個座標系下的向量。這與向量的基變換過程是乙個回溯的關係，也就是說，從右到左計算的時候， 首先是座標系下的向量， 的計算結果是座標系下的乙個向量，而 本身是基座標係下的乙個向量。以上過程中向量 、 、 所在的座標系是各不相同的，因此總結為相對動座標系右乘。
反過來，變換矩陣左乘時相當於 。想像一開始有乙個和基座標係重合的座標系，依次經過基於基座標係的 變換和 變換，得到乙個新座標系，而座標系中的向量 也隨之變換為 。由於兩次變換都是基於同乙個基座標係而言的，因此總結為相對靜座標系左乘。
補充說明，上面所說的基座標係並不唯一，只是說變換 和 都是以這個座標系（或這個座標系變換後的座標系）為基礎來展開。事實上在任何乙個「當前」座標系下，看待自己都是標準正交基。
上面的理論可能有些抽象，建議結合另乙個答案下面 @八度淺離 給出的台大林沛群老師的例子來理解。另外林沛群老師的機械人學課程質量很高，非常適合入門，也推薦學習。
5樓：qinhan2018
v_r=R_rb*v_b，r 是參考，b是本體，v是向量，R是旋轉矩陣，rb是本體到參考。現在在v_r的基礎上再轉一次，因為是繞參考係r某個軸轉，模擬v_r=R_rb*v_b，v_r繞該軸再轉一次，有v_r1=R_r*v_r=R_r*（R_rb*v_b），因此顯然是左乘。繞本體軸時，把本體當成之前的參考係，模擬v_r=R_rb*v_b，可得v_r=R_rb*v_b=R_rb*（R_b*v_b1），顯然是右乘。
模擬處理就可以了
6樓：八度淺離
這個用林沛群老師的解釋大概是這樣的fixed angle 和Euler angle
當為固定座標系時，
這裡可以把的座標系當成向量例如這裡選 ，經過三次繞固定座標系旋轉後，這個向量還是在座標系下的表達為 ,它的求取就需要 依次進行3次旋轉，所以 依次左乘 、 、 。這就可以理解，相對固定座標系進行旋轉時，當前狀態為 ，進行 變換時，為左乘 。
當為物體座標系時，
此時物體繞自身的座標系進行旋轉，即座標繫在一直變換，假設最初在座標系中有個向量,經過繞物體座標系的三次旋轉變換後， 該向量相當於進行了三次對映，變為了 、 、 中的 表示 ，此時要做的是把 轉為 ，所以為 依次乘 、 、 。這就可以理解，相對物體座標系進行旋轉時，當前狀態為 ，進行 變換時，為右乘 。
若理解有誤，請大神指出~
另，再加個
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