1樓：Yuhang Liu
Tangent bundles of exotic manifolds
看第乙個回答：「John Milnor gives an example of two homeomorphic smooth manifolds whose tangent bundles are not isomorphic as topological vector bundles, see his ICM-1962 address, Corollary 1.」
2樓：江江的貓
首先切叢本質上是從區域性定義的，然後用structure group 給出等價類。一開始的定義是需要微分結構的，但是很多不變數是拓撲不變數。我知道在微分流形的情況下才有切叢。
如果是只有拓撲的話，那至少按之前的方法是行不通了，也許會有其他方法，但是這個我還真不清楚。關鍵在於怎麼定義拓撲流形的切叢是個問題(目前來看拓撲流形是沒法定義切叢的，因為要求至少有一階可微性才能定義切叢。一般情況下，是先預設具有微分結構，然後再證明某個不變數和微分結構無關)。
比如對拓撲流形的定向，如果你用區域性同調群來定義的話，本質上其實就是定義了乙個一維線叢，這是個拓撲不變的叢，而關鍵是我還要去找高維的模擬物(orientation就是H^1裡的乙個element. 當然我一般只關心兩個class了，乙個是orientation, 乙個是spin structure. )。
補點無聊的腦洞: 轉移函式只能是連續的話，按理說好像也沒問題的樣子。有cusp點的曲線拓撲同胚於直線，但對切叢似乎不太妙。
當然直線的切叢還是挺顯然的。關鍵還是怎麼去定義拓撲流形的切叢。假設要是能嵌入歐氏空間，那然後又該怎麼定義，這是個問題。
假如可以定義的話，那麼按照線叢的推廣應該就是H^1(X^n,GL(n,R))裡的乙個元素，而且這個定義是不依賴於光滑結構的，但還是要加上一些條件才能確定具體哪乙個cocycle 對應了切叢。
我找了一下，這兩個鏈結應該可以幫助你，所以說是一定拓撲同胚(但作為叢不一定拓撲同胚)有時微分同胚。對不微分同胚的例子，這似乎還是open的問題。我印象裡好像有人在S^6上面構造了不一樣的微分同胚，不過忘記具體是在哪篇文章了。
你可以問問清華的老師，比如林劍鋒老師。至於拓撲的構造切叢的方法就是鏈結裡提到的Milnor的Micro bundle.
Novikov證明了rational Pontryagin classes是光滑流形的同胚不變數。smooth manifold, PL manifold, topological manifold, Poincare duality space,都有對應的bundle theory, 對應的bundle的結構群通常記作O (orthogonal group), Top, PL, G。上世紀六七十年代手術理論主要就是在處理這幾類空間和他們的bundle theory，不過我也沒有具體了解過。
乙個fundamental的問題是乙個光滑流形的餘切叢的辛同胚類能不能決定它零截面的光滑同胚類。如果nearby Lagrangian猜想成立的話，那麼這個問題的答案是正面的。據我所知在這方面似乎只有Abouzaid關於怪球的一些正面證據。
另外對你後面補充的問題，某些示性類是同倫不變數(stiefel-Whitney class)，某些是同胚不變數(rational pontryagin class)，至於Pontryagin class的torsion部分我也不清楚是不是同胚不變數。
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