1樓：殘月
幾何拓撲範圍太廣。看是什麼樣的幾何拓撲。
如果是低維拓撲，3維流形這一塊來說，雖然thurston的24個問題已經完滿解決，但還是很熱門，還有很多問題可以做。特別是和雙曲幾何關係大的。4維這一塊個人感覺到了乙個瓶頸，要有大的突破，需要發展一些工具。
4維裡面大猜想不少，比如smooth poincare conjecture. 11/8conjecture等。另外4維流形與代數曲面聯絡緊密。
代數曲面裡面也有很多大問題。
高維拓撲方面這幾年進展緩慢，並且高維拓撲用的工具要複雜一些，比如surgery, k theory, cobordism theory，示性類等。強調一下，有些人說高維拓撲比低維簡單是乙個錯誤。高維拓撲很難，用的工具很多，都是一些很抽象的代數知識。
說高維簡單只適用於poincare conjecture, 這方面是高維先做出來的。
同調群，同倫群，示性類這些不變數都不能完整刻畫乙個高維拓撲。可見高維的複雜。對於closed 3維定向流形，乙個基本群就把所有代數特徵（同調群，同倫群，示性類，k group等）全部決定了。
高維的猜想也多，比如novikov conjecture， browder conjecture， farre Jones conjecture等，只是現在啃不動。
總之低維拓撲更強調幾何直觀，空間想象力。高維拓撲更加代數化一些，並且解決的問題沒有低維那麼完美。
現在好像很多做辛幾何，接觸幾何的也說自己是做幾何拓撲。
2樓：
講一講代數拓撲。在現代數學體系中代數拓撲發揮的作用越來越基礎化。目前國內做的比較多的都是在低維拓撲上搞事情。
這其中原因很多比如同倫論部分晦澀艱深，看了之後自己感覺和白痴也沒有什麼特別大得差別。
3樓：汪湜
其他答主講得都很詳細，我做個補充。Danaldson,Smale的工作我不甚了解，Gromov,Thurston的工作其實也挺符合你的描述的。特別是Gromov的工作，會大量使用微分幾何工具來處理拓撲問題。
如果你感興趣這一方向，我不推薦看書（似乎也沒有什麼好的書我能想起來，除了Thurston那本Three dimensional geometry and topology，但說實話我自己也沒有看完。。），直接看文章就好了，你說的這些預修知識肯定夠了。另外看你描述，似乎我這個回答裡提到的Gromov的幾篇文章可能會對你胃口，你可以試著讀一讀。
現代幾何學，哪些分支算東西比較少。我看的文章都是再算，算東西真的是我的短板？
但是Gromov的文章有的不好念，不過沒關係，他的文章大多都是碎片式的思想，我都是反覆讀的（有的讀過不下十遍），每次讀都能讀出新的東西來。就好比喝酒，有的酒烈，有的酒柔，有的酒要一口悶，有的酒要細細品，找到適合自己taste的那一種即可。
4樓：皮皮桌
smale的工作是在五維及以上。donaldson freedman在四維。floer perelman在三維。
這幾個人中donaldson和floer基本研究方法都是gauge theory。或者辛幾何中的偽全純曲線形成的模空間。在這個方向上現在發展的最遠的應該是kronheimer mrowka，ozsvath szabo，seidel，abouzaid，manolescu等人。
規範理論在seiberg witten出來以後四流形有很多很有意思的結果，這使得對instanton的研究有所停滯。而且在三維最初對於knots的進展也有限（floer本人就定義過）而辛幾何的heegaard floer對於knots很有殺傷力。直到kronheimer mrowka規範理論在knot上才真正有所突破。
教科書本人所看的範圍超不過其他答主。但筆者另有一建議：想做拓撲場論方法的低維拓撲，出國是更好的選擇。
因為國內真正能明白比較簡單的seiberg witten的恐怕你乙隻手就數過來了。你要知道seiberg witten不變數的定義你需要會主叢上的聯絡，dirac運算元，fredholm擇一，橢圓方程。恐怕很多口口聲聲做幾何的知道主叢的聯絡就很費勁了，你還讓他懂橢圓方程？
更不用說要把morse理論搞到無窮維的floer同調了。做方程的估計更難有主觀能動性的把方程用於幾何吧？這些人自己基礎薄弱，怎能眼睜看著你做大做強（我這是李歸農文學？
）你可能連個交流的人都沒有。國內一些人可能心想：還規範理論？
能出文章就行，你怕不是個傻子。白白自取其辱很多……
5樓：咪爺
低維拓撲是很有意思的，也還是個很熱的領域。如大V所說，也包含很多內容。做扭結和三流形可以用gauge theory，heegaard floer，Khovanov homology, quantum invariants等，做四流形可以用gauge theory，Kirby calculus, Lefschetz fibration, Trisection等等，技術很多，可做的問題很多，做不出來的問題也很多。
可以看我的另乙個回答
幾何拓撲（geometric topology）這個數學分支，主要包含哪些內容？
入門的話，把微分流形和代數拓撲基礎學一下。然後可以先看一些關於3,4流形的書。聶神提到了Gompf-Stipsicz, 4-manifold and Kirby calculus是經典名著。
除此之外我再推薦幾本：
Scorpan, The wild world of 4-manifolds. 這本的內容和Gompf-Stipsicz有不少重合，主要的區別在於沒講Kirby calculus，內容上和寫法上都更基礎更友好，也有很多圖，介紹了很多概念和結果，對於證明大多是給個idea，比較適合作為本科生入門了解4維流形的第一本書。
Rolfsen, knots and links. 入門扭結理論和3維流形，裡面很多例子，很具體。
Moore, Lectures on Seiberg-Witten invariants. SW的書有很多，這本肯定也不是最好的，但我覺得是最簡單的，語言上最基礎的。拿來做研究肯定不夠，但是適合沒什麼基礎的人入門看。
6樓：聶子佩
啊，是的呢。低維拓撲的確比微分幾何更直觀一些。我感覺你的基礎可以讀一下 4-manifolds and Kirby calculus (Gompf and Stipsicz) 這本書。
快來開啟新世界的大門吧。
7樓：Yuhang Liu
幾何拓撲是個很泛的領域，你去搜geometric topology發現做的人少，很可能因為他們把自己分的更細，比如他們會說自己是做雙曲幾何的，做紐結理論的，做Heegaard Floer homology的，做gauge theory的，等等等等。你得看得更仔細一點才能從faculty list上把他們找出來。相比之下，代數幾何更像是個專有名詞。
乙個拓撲流形的不同微分結構是否一定給出在拓撲上同胚的切叢？
Yuhang Liu Tangent bundles of exotic manifolds 看第乙個回答 John Milnor gives an example of two homeomorphic smooth manifolds whose tangent bundles are not ...
程式設計師是全棧有前途，還是專注於乙個領域有前途？
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做乙個化驗員有前途麼？
懶骨頭 我也是化驗員，本身也是化學專業出身，校園招聘進了國企，每週就一些固定專案，確實沒什麼新鮮的，但是，我們部長原來也是化驗員出身，一步一步做到部長，是否有前途還是看個人，你如果有想上公升的心，就要虛心學習，化驗工作相對輕鬆，很容易讓人變得懶惰，如果想上公升，就用空餘時間去別的崗位學習學習，拿來別...