1樓:黃博THU
定義出發,奇函式f(-x)=-f(x)加了常數C的奇函式g(x)=f(x)+C,則g(-x)=f(-x)+C=-f(x)+C
如果所加的常數C是常數0,那麼g(-x)=-g(x),仍然為奇函式。
如果原來的奇函式f(x)=0,g(-x)=g(x)=C,為偶函式,常數C是常數0,還同時是奇函式。
其它情況下,g(-x)≠-g(x)並且g(-x)≠g(x)所以既不是奇函式,也不是偶函式
2樓:mmtt39
奇函式是指對於乙個定義域關於原點對稱的函式f(x)的定義域內任意乙個x,都有f(-x)= - f(x),那麼函式f(x)就叫做奇函式。
假設f(x)=x,該函式為奇函式,因為對於該函式的定義域內任意乙個x都滿足f(-x)=-f(x),
例如f(-1)=-1=-f(1)=-1.
某函式加減乙個常數實際上體現的是函式影象平移(豎直方向),如函式x+1就是在原函式影象x上往上平移1個單位長度,函式x-1的影象是在原函式x上往下平移乙個單位長度。
對於任意函式f(x)+ b,該式表示的都是函式f(x)影象的豎直平移。b>0時向上平移,b<0時往下平移,b=0時影象不變——因為f(x)+0=f(x)。
回到前文,該奇函式加減乙個常數,如:f(x)=x+1實際上就是把f(x)=x的影象往上平移乙個單位長度,如下圖:
奇函式的影象關於原點對稱,明顯的——f(x)=x+1不關於原點對稱,直接可以從影象看出f(x)=x+1不是奇函式。
嚴格地證明同樣可以做到:根據奇函式的定義,對於任意x都有f(x)=-f(-x)。根據定義也可證明。
看得出來對於奇函式f(x)=x來說,加減常數使其影象平移後就不是奇函式了。
對於所有的奇函式來說呢?
仔細想想的話,只要奇函式上下平移以後,平移後的影象就不會再次關於原點對稱了吧?
結論:奇函式加減常數表示的是影象的平移,平移後就不是奇函式也不是偶函式。
此外對於偶函式來說,上下平移的區別呢?
該圖是偶函式f(x)向上平移乙個單位長度後的f(x)+1的影象。
看得出來對於偶函式來說,不管加減任何常數(也就是向下或向上平移任意長度)後,還是偶函式。
這是奇偶函式豎直方向的平移。
此外還有水平方向的平移。
f(x+b)表示的是在函式影象f(x)的基礎上水平方向(即左右平移)平移b個單位長度,
當b>0時,f(x+b)在f(x)的影象上向左平移b個單位;
當b<0時,f(x+b)表示在f(x)的影象上向右平移b個單位;
當b=0時,f(x+b)=f(x),影象不變。
如此圖表示該函式(我畫的是二次函式)為f(x)變成了f(x+b),其中左加右減,向右平移表示減號,即b<0.
看得出來,偶函式左右平移後就不是偶函式也不是奇函式。
偶函式上下平移後表示的還是偶函式。
奇函式左右平移後的影象你可以自己再畫。
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