1樓：Lucas Xie
羅素悖論有個屌的影響
context是，當時frege想搞個大新聞，把數學reduce成邏輯，這樣就能解決很多問題，比如關於先天性分析性的問題。
frege搞完之後，羅素給他寫了個信，說，啊你這個搞得挺不錯呀，就是有個小小的問題。。。然後就吧羅素悖論說出來了，frege人就裂開了。
能用倒是能用，但有人總說他不是pure logic，有些髒東西混了進來，羅素也無語了
2樓：我也去上個廁所
我覺得前面答主的回答不夠完整。我認為羅素悖論影響的不僅僅是集合論或者數理邏輯，而是整個數學。
注意，公理化集合論已被證明可以作為數學的基礎，但是它是否應該作為數學的基礎仍是存在爭議的。因此我覺得「羅素悖論影響集合論，而集合論是數學的基礎，所以羅素悖論進而影響了整個數學」這個觀點不夠好，因為集合論不是數學客觀上的基礎，而且數學不是從集合論開始發展的（康托爾研究集合論的時候數學已經發展了上千年了）。
我的觀點是，即使我們承認集合論不是數學的基礎，我們也應該認為羅素悖論影響了整個數學大廈，因為雖然它是在集合論之下被提出來的，但它所蘊含的問題遠不僅是乙個在集合論層面上的問題——羅素悖論的核心是「涉己定義」。
羅素悖論定義了乙個「由所有不屬於自身的集合所構成的集合」，這是乙個涉己定義，因為我們在對該集合的定義中也用了「集合」。在這個定義被應用到這個被定義的集合自身的情況下時，悖論就出現了。這說明，當乙個數學物件的定義涉及到物件自己的話，矛盾就有可能出現。
相似的悖論還有「理髮師」悖論——乙個給所有不給自己理髮的人理髮的理髮師是否應該給自己理髮。這個悖論的產生，就是因為我們在對「理髮師」的定義中用了「人」，而「理髮師」本身也是「人」，這是乙個涉己定義。
已知涉己定義會導致矛盾，而數學中不允許存在矛盾，那麼數學中就不該出現涉己定義。而問題就在於，到20世紀，數學中已經有了太多太多涉己定義，比如說對最小上界的定義（它是用「上界」來定義的，而它本身也是乙個上界），因此因為這些定義可能會存在矛盾，數學家需要去檢查一遍每乙個定義。不僅如此，更麻煩的是，涉己定義不是一定存在矛盾，而是可能存在矛盾，但數學家們卻找不到一種規則來判定哪些涉己定義蘊含矛盾而哪些沒有。
似乎解決方案只剩下用別的定義來代替涉己定義了——但這個方法也失敗了，比如最小上界的定義似乎就沒有乙個非涉己的替代品。
正因為涉己定義遍布在了數學的各個分支中，而羅素悖論挑戰了這一定義的合理性，羅素悖論影響了整個數學大廈。
為了解決涉己定義的問題，羅素和懷特海創立了型別論（而型別論在計算機中也有很廣泛的應用），而公理化集合論中加入了乙個集合不能屬於自身的公理來避免了這個悖論。意識到相容性的重要性還有悖論出現的可能性，希爾伯特希望通過形式化數學（即將數學完全符號化抽象化，變成純按照特定規則進行的符號推理）來避免悖論。這些理論都是由羅素悖論而生的造物，而它們對數學在20世紀的發展有著舉足輕重的影響。
從更巨集大的歷史角度來看，2023年數學界對數學是充滿樂觀和信心的，19世紀末分析的嚴密化、邏輯學家的工作、公理化的思潮讓數學家們有些自鳴得意（龐加萊甚至宣稱絕對的嚴密已經達到了）而忽視了一些重要的問題（比如相容性）。而羅素悖論以及一系列其他相似悖論的提出相當於給數學家澆了一桶冷水，迫使他們認清現實，專注於公理系統的相容性的證明等工作。羅素悖論從根本上改變了數學的程序，當然，考慮到2023年哥德爾不完備性定理的提出，羅素悖論僅僅是乙個開始。
有人會說，羅素悖論影響的只是邏輯，對整個數學沒有實質影響。確實，羅素悖論的本質是乙個邏輯問題，它本身可能沒有給數學大廈添上一磚一瓦。但正因為它，數學家不得不費盡心思去檢查並修補這座大廈的漏洞，甚至不惜去改變它的結構來讓它更加牢固。
最後的建築物和原來相比，雖然還是那些磚瓦，但磚瓦的排列方式和組合成的結構卻已截然不同，誰能確保這前後兩座大廈還是同一座呢？誰能說這座大廈沒有發生一些根本上的改變呢？
3樓：衛屏
怎麼沒影響?代數要解方程吧?方程的解構成個集合吧?
集合出問題，方程就有問題，代數就有問題吧?分析要用微積分吧?微積分構成集合吧?
集合有問題，微積分岀問題，分析能不出問題?羅素悖論讓集合論岀問題，那就是根本問題，怎麼沒影響?
4樓：尹飛
主要是動搖了邏輯學作為數學根基的一種預想。所謂數學第三次危機，即是集合論無法無矛盾的作為現代數學的基礎。參看羅素置信弗雷格。
這導致數學家從新定義集合不可跨階段比較，以及空集的真正含義，從而奠定了現代數學基礎。故而，每個高中生第一堂數學課，基本都是集合論。
5樓：
因為當年，他們想用集合論統一全數學來著，但如你所見，失敗了。幾何並不包含算數系統，所以它自身是完備的……
影響：沒有羅素悖論，就不會有停機問題，AI就可以自己debug。
至少會比現在的路容易得多。
6樓：拖延症晚期患者
因為集合論裡面最初的定義是有問題的，所以才有了羅素悖論。但是羅素悖論的提出，使得人們重新審視集合論，逐漸使得它更加完善嚴謹，以至現在，定義上的漏洞已經完全解決了，並且也推進了比集合論更廣的乙個領域的發展，範疇論。
據說曾經有段時期，大學數學系入學先學集合論，現在基本已經沒有多少人認真學了，反而是範疇論的一些基礎知識，慢慢滲透到好多方向的專業課裡。
據說羅素悖論有解，如何解？
楊學志 這樣解 羅素悖論 的提出給數學界帶來何種影響，如何通俗地理解這一悖論？楊學志的回答 知乎 羅素悖論 的提出給數學界帶來何種影響，如何通俗地理解這一悖論？ 塗鴉 我們在小學的時候被老師教導過，0不能被用在除法的分母。這就是乙個悖論了。同樣的，羅素悖論的解，大概是要求在對非本身分子的集合作為子集...
為什麼會存在羅素悖論中羅素構造的集合？
琉年 有個東西叫 正則公理 就是說，乙個集合不能自指 在定義的時候提到了自己 否則不承認它是集合。羅素構造的那個東西不滿足正則公理，不是集合。 鍵山怜奈 公理化集合論的思想是構造的，我們從乙個空集開始構造所有的集合，這樣直觀上我們覺得每個集合都是實際存在無矛盾的。但是樸素集合論是非構造的，我們只要指...
羅素悖論可以解釋上帝舉石頭的例子嗎？
零魚ZeroFish 別的回答。額，算不算答非所問？論證沒問題，說幾個可能會引起疑惑的點。1 S1的定義 上帝做得到的事，可以這樣延伸 如果存在上帝，則在S1這個集合裡的事可能被做到，即可能為真。2 上帝是萬能的等價於S2是乙個空集。S2是 上帝做不到的事情的集合 因為 上帝是萬能的 這個命題的意思...