1樓：譚雅
反對所有答案。
我所學的ZFC是這樣處理這個問題的。
首先是，不是乙個集合，而是乙個class symbol。如果我們定義那麼我們就可以定義class symbol和集合之間的相等關係而且可以證明它也滿足axiom of extensionality的形式。由此，我們可以將乙個class視為乙個集合，當且僅當存在乙個集合與這個class相等。
記，下面我們證明：。我們用反證法
如果結論不成立，則有
特別地，，矛盾。證畢。
再多說一句，乙個class是集合和不是集合最大的區別是什麼呢？是它能否屬於其它集合。我們定義，由此可以看出V不是其它class的元素。
因此不論從什麼角度來說Russell悖論都得到了解決，結論是。
然後說說我的反對理由。
首先是這個問題與axiom of regularity（我也不知道正則公理是啥估計就是這個東西吧）沒關係。我們完全是用邏輯公理和axiom of extensionality來證明這個問題的，換言之在乙個axiom of regularity不成立的公理系統之中V仍然可能不是集合。而且並沒有任何的自指。
如果你認為這個是自指的話，那麼是不是自指呢？但是空集顯然是乙個集合。
其次是我並不贊成class symbol必須表示為，因為這樣的話以我所見沒法定義空集，因為我所知道的所有的數學上研究的具體的集合都是從空集開始構造出來的（這是不是很有意思，無中生有）（自然數集是從空集和axiom of infinity來的），你沒法先找到乙個A。集合公理若不能證明集合是存在的，這豈不是很荒謬。
最後是我所學的ZFC 公理
1.Axiom of Extensionality:
2.Axiom of Pairing:
3.Axiom of Union:
4.Axiom of Power Sets:
5.Axiom Schema of Replacement:
6.Axiom of Regularity:
7.Axiom of Infinity:
8.Axiom of Choice:
特別說明，所有邏輯表示式中的小寫字母都代表集合。
2樓：
這是 ZFC 版本下的 separation：
如果是乙個集合，並且是乙個描述，那麼我們可以把那些屬於並且滿足描述的個體蒐集在一起構成乙個集合。這是粗鄙的 separation：
如果是乙個描述，那麼我們可以把那些滿足描述的個體蒐集在一起構成乙個集合。區別在於，ZFC 下面的 separation 不是憑空產生的，而依賴於原有的集合。
在粗鄙的情況下，會產生羅素悖論。令就可以得到，然後問這個集合是否屬於自身，便得到悖論。但是在 ZFC 中，即便沒有 foundation， 也不會出現這樣的問題，因為根本就沒有這樣的寫法，只有這樣的寫法，而就算是沒有 foundation，我們光從也得不到矛盾。
將這個集合記作 B，只有在並且的情況下才會有問題。那麼我們只需要選擇並且就能避免矛盾了。當然，另一條線依舊是不能選擇的：
假設，那麼我們就得到並且，而這一邊依舊是乙個矛盾。但是沒關係，另一邊已經不再封閉了。
於是，在 ZFC 裡面，羅素悖論的形式幫助我們看清了這一點：對於任何乙個集合 A，總存在乙個集合 B，使得 B 不在 A 裡面。換而言之，不存在所有集合的集合。
以數學史的觀點來看，集合論是如何成為數學基礎的？
小說讀者 所謂數學基礎，有點像哲學家提出的問題，比如胡塞爾這樣的。對於數學家，它並不是你想象的那麼重要，或者簡單說，微積分基礎，比所謂數學基礎更重要。集合論，當然也不是因為與數學基礎有關才顯得重要的。據我所知，它也是研究拓撲，函式論，代數，所必須的，沒有它，你無法講清楚一些東西。數理邏輯，它在作為數...
如何看待哈工大集合論老師給擦黑板的學生在總成績上加五分的操作？對於學生有什麼影響？
夜星辰 加分操作多了去了，端茶倒水，問問題，擦黑板，課代表，收作業。你有本事擦黑板，別人就有本事纏著老師問問題，當課代表端茶倒水，反正最終都能加分，比誰會刷存在感。 不邀自來 看到這個問題我實在是忍不住了第一次在知乎上回答如果有不對輕噴 以前我上小學初中那會講台還專門加高了俗稱三尺講台嘛為了讓老師站...
萊布尼茲的單子論如何解決身心關係？
花散裡 當我們說一件事情引起了另一件事情的時候，這兩個單子只是如其本質的變化而已，而在這種變化的過程中他們之間產生了一種和諧。就如他在 新體系 中說明的 上帝首先創造了靈魂和其他現實的複合體，通過這樣一種方式所有的事物都必須從自身之中發生變化，並且與其他事物產生完美的聯絡。這一切使得所有的實體之間具...