1樓：Perplexboy
考慮 函式，即
利用錯位相減的思路，在 兩邊同時乘以 ，則有得到這樣， 函式右邊和式中分母為 之倍數的項被消去了。同理，在 式量邊乘以 ，作同樣的操作，就可以消去函式右邊和式中分母為 之倍數的項；繼續作同樣的操作，可以消去函式右邊和式中分母為 之倍數的項...一直作這樣的操作，直到遍歷全體素數，則右端只剩 ，即
即其中 為第 該素數。
因此，利用 式，取 ，立即得到
2樓：TravorLZH
利用莫比烏斯函式的定義可知
所以倘若用Q(N)表示不超過N的無平方因子數（即莫比烏斯函式值非零的情況）之個數，則有：
由於 且 \sqrt N}\ll\int_^\infty=" eeimg="1"/>，所以我們得知：
因此有：
現在問題就在於求解級數 了。現在我們介紹乙個引理：
引理（尤拉乘積）：如果f(n)是積性函式且 絕對收斂，則有
這是算術基本定理的直接推論，故省略詳細證明。
由於莫比烏斯函式本身是積性函式，且級數 絕對收斂，所以：
但因為對於所有的m≥2和素數p均有 以及 ，我們得到：
所以綜上所述有
對於提示中的等式，我們對f(n)=1、s=2使用引理可得：
所以只需要證明 即可完成證明。為了證明此等式，我們考慮對平方函式在區間(-1/2,1/2)上的Fourier展開，得：
其中當k非零時有：
綜上所述有 。事實上由於平方函式在週期[-1/2,1/2]滿足Lipschitz條件，所以我們可以代入t=±1/2得到：
遂結論得證。
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