1樓：
之前看錯題了。 不過用原來的方法還是很容易證明題目。
注意到這個遞推數列的特徵方程沒有重根。 所以通項是根的n次冪的線性組合。 容易看出前四項恰好是A^n的trace.
所以對任何n， a_n=tr(A^n). 對任何p, 由Frobenus我們有 a_p mod p=tr(A)^p mod p=0 mod p.
這個是顯然的。 考慮Z^4->Z^4 的線性對映A: (x_0,x_1,x_2,x_3) ->(x_1,x_2,x_3,x_1+x+2).
那麼(a_n,a_,a_,a_)=A^n((4,0,0,3)), 且 A屬於 GL_4(Z). 對任何素數p， A mod p 屬於 GL_4(F_P) 是有限群。 所以存在N，有A^N mod p= id.
所以(a_N,a_,a_,a_) mod p=A^N((4,0,0,3)) mod p= (4,0,0,3) mod p. 所以a_=0 mod p.
2樓：
The American Mathematical Monthly
Vol. 107, No. 3 (Mar., 2000), pp. 281-282附：
3樓：靈劍
這個題還真有點難度……
把原來的遞推式寫成，再把這兩項分別展開，一直展開到變成中的一項為止，這其中只有和兩項不為0，這兩項各自累積了多少次，取決於有多少種不同的序列使得且，其中的是的累加次數，的是的累加次數。
我們列出乙個不定方程，其中，則可以表示為
當n與3,4互質時，改寫成同餘方程：
這個方程的解可以表示為A = n - 3u， B = 3n - 4v，代回原來的方程當中有
於是有下面證明當n為質數時，都是n的倍數，從而是n的倍數。
由於是整數，也就是
是整數又由於是整數，也就是
是整數由於n是質數，所以n與u互質，所以n-3u與u互質，而是整數，所以是整數。
所以所以
是n的倍數。因此n是質數時，是n的倍數。
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