1樓：Huxley
以圓柱中心為原點建立平面座標系 ，記圓柱半徑 ，繩長 ，繩和圓柱相切點至圓心的連線與 軸夾角為 ，初始時刻繩與圓柱相切，切點位於 處，則繩與圓柱切點矢徑為：
繩端點矢徑：
計算繩掃過的微面積向量：
積分得到繩掃過的面積：
這裡 是切點繞圓心轉過的角度。注意，如果繩子充分長，此 中將包含重複掃過的面積。特別地，如果取圓柱半徑 ，上式退化為：
這是扇形面積公式，自然理應如此。如果計入重疊，角度 的最大值為 ，相應地最大面積為：
如果要求計算繩掃過的不重疊最大面積，此時應取：
對應的繩掃過的不重疊最大面積為：
2樓：李天綺
樓上大佬已經回答，我再補充點直觀感受
以下是動態效果
GeoGebra Classic - GeoGebra由上圖，很清楚
面積微元模擬扇形面積
為簡單,假定 ，等式兩端積分
懶得積分了。。。，查積分表得
另外，掃過面積不必減去重複掃過的。
3樓：
面積 其中
如果 ，那麼積分上限 ，如果 \pi R" eeimg="1"/>，那麼積分上限 滿足 。計算如下：
如果 ， ，否則解 得 。
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