1樓：劉醉白
舉兩個典型的例子：
（1）一元一次同餘方程及在中國剩餘定理中的使用，（2）在威爾遜定理中的使用。
（1）首先，跟實數中的倒數有類似的功能，
參考：劉醉白：實數範圍。加法逆元，和乘法逆元為什麼可以一樣定義呢？
類似的，當 時，解最簡單的一元一次同餘方程：
兩邊同時乘 ，那麼得到此同餘方程的解是：
更一般地，解一元一次同餘方程：
此方程有解當且僅當： ，且有解時在模 意義下的解數是 個不妨設
當方程有解時，轉化為：
而 與 是互素的，因為：
所以 ，那麼
那麼原同餘方程的解是：
其中 ，即方程有 個解。
這裡我們也發現乙個現象，模 剩餘系的一元一次方程不一定只有乙個解，這與數域上的一元一次方程只有乙個解不同。
另外根據上面一元一次方程的結果，我們還可以推導中國剩餘定理：
中國剩餘定理是解一元一次同餘方程組：
其中 兩兩互質。
這裡只需要求解 個方程組即可：
解此一元一次同餘方程組，我們可以分兩步：
（1）解方程組：
顯然方程組的解是
不妨設 ， ，那麼
那麼 （2）解方程組：
即 因為 與 互素，
所以 所以
的解是：
所以中國剩餘定理的解是：
中國剩餘定理具體參考：
劉醉白：如何推導中國剩餘定理的通解？
這裡逆是用來表示的，具體數值可以使用擴充套件歐幾里得演算法計算。
（2）威爾遜定理
根據威爾遜定理我們知道：
是素數時，
容易驗證上面的結果，
3" eeimg="1"/>時可以這麼證明：
在 中我們知道 的解只有 ，
即只有這兩個數逆和自身相等，其他的數滿足逆和自身不相等所以 這 個數中，每乙個數和它的逆可以兩兩配對，即 所以
2樓：此妙彼妙妙義無殊
從歷史上看，「數論倒數」這個東西最早應該是由13世紀（南宋）的中國數學家秦九韶在《數書九章·大衍術》（數學大略）裡為了求解一次同余式組而明確提出來的。
【以下都主要參考於沈康身執筆的《中國數學史大系·兩宋卷》】
在秦九韶那裡，似乎也是最早地明確解決了將一次同余式中的分數模一般地化為整數模的問題。他在「大衍術」中將模數分成4類，其中分數模數被他稱為「通數」，而小數模數被他稱為「收數」。
他在書中提到了有關曆法的一道例題，就使用了分數模數（見下圖1、2）。
不過按照沈康身等先生的整理與還原，他應該是直接進行的未知數代換，把分數模數直接化為比較大的整數模數後進行的求解。
而「數論倒數」，一開始作為秦九韶所謂的「乘率」，則應該首先是在其嘗試求解一次同余式組的過程中明確引入的。它首先應該指的是「與衍數（定母的連乘積衍母【按照定母的定義，也是原同余式組各模數的最小公倍數】與相應定母的商）在相應定母（一次同余式組中被化簡而得的兩兩互素整數模數——而所有非兩兩互素的情況都通過一套迭代演算法【秦九韶定理7.1】化為定母）模數下同餘的那個較小正數（奇）」的數論倒數（二者的積在相應模數下同余於1）。
3樓：Battlecry
給定乙個與正整數n互素的整數m，它在模m意義下的數論倒數可以理解成它在乘法群U(Z/nZ)中的逆。其中U(Z/nZ)指整數環Z商掉其理想nZ形成的商環Z/nZ的乘法可逆元群。
如果題主在系統性地學習初等數論的話，不妨抽空了解一下群論、環論（特別是交換環）的一些基本概念和思想。我是在修抽象代數之後修的初等數論，感覺有些原來看不是很好懂（指不明白為什麼下某些定義、為什麼某些性質很重要之類的）的部分在抽代思維下就非常自然。
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