羅素悖論中的自己屬於自己的集合是不是根本無法被構造出來？

1樓：袁若程

哎。現在學數學的喜歡搬一套名詞術語嚇人。

數學建立在 N條形式化公理上，目的是保證隨後的推演無記憶體矛盾。

羅素說，誰來證明 N條公理本身無內在矛盾？

為了使人容易理解，他杜撰了乙個故事稱為理髮師悖論。

2樓：Comcx

提供乙個視角，在電腦科學中，乙個閉包（Closure）如果想要實現遞迴，其內部的環境（environment）則必須能夠包含其自身，因此，如果想要實現這種閉包，一般的辦法只有引入可變數或者使用惰性集合。當然我們也可以不構造這樣乙個環境轉而使用Y組合子，不過那又是另外一回事了。

3樓：

A∈A不是要把A裝到A裡面，比如B=，那麼B∈B，嘗試把B裝入B，那怎麼裝呢？這樣？B=} ？這樣是很荒謬的。在這裡A∈A，等價於A=A。

4樓：Ember Edison

你的直覺沒有錯。

良基公理，或者叫做正則公理（也叫做基礎公理）的逆公理是完全非構造性的公理，並且依賴於無窮公理，因而也類似於無窮公理一樣完全是非構造性的。

沒有無窮公理你不可能構造無窮，沒有非良基公理你也不可能構造形如的非良基集合。

只有無窮公理也不能構造非良基集合hyperset（超集）。因為V≠WF可以推出V≠L而無窮公理只是V＝L的定理。

說到底，其根本原因在於，ZF內（的受限概括公理模式）要宣告乙個集合的存在，是必須從已有的集合出發來構造集合。本身概括公理模式的設計已經足以防禦羅素悖論。

5樓：數學詭異

對於羅素悖論中的 A∈A 型別的集合究竟符不符合邏輯，我來給出這樣的乙個例子：

在乙個屋子裡有無窮多個蘋果和無窮多個袋子，當我說：「將所有的蘋果全都裝進同乙個袋子裡」，這句話肯定是沒有任何矛盾的。

但如果我說：「將所有的袋子全都裝進同乙個袋子裡」，這句話就有矛盾了，因為假設將所有的袋子全都裝進1這個編號的袋子裡，那麼，1這個袋子本身也是乙個袋子，那麼，因為要將「所有袋子」全都裝進同乙個袋子裡，所以1這個袋子也要裝進1這個袋子裡，即自己裝下自己，這本身就是矛盾的。

再舉乙個典型的 A∈A型別的矛盾：設所有集合的集合S，從定義可知，S包含所有的集合，因為S本身就也是乙個集合，所以S是S的元素，即 S∈S，表面上看，好象是沒有什麼問題，其實，S就像是一條能夠自己裝下自己的袋子一樣，是存在邏輯矛盾的。

6樓：天將軍

正則公理（也叫做基礎公理）是 Zermelo-Fraenkel 集合論的公理之一。在一階邏輯中，這個公理可敘述如下：

所有非空集合

A 中至少有乙個這樣的元素

x ，它與A 本身的交集為空集。從這個公理可得出兩個結果，其一為「不存在以自身為元素的集合」，其二為「沒有無限序列

an 使得對於所有 i，ai+1 是 ai 的元素」。

通過選擇公理可以證明後者的逆命題也成立：如果這樣的無限序列不存在，則正則公理為真。所以在假定選擇公理的情況下，兩個陳述是等價的。

正則公理被認為是Zermelo-Fraenkel 集合論中應用最少的公理，因為數學分支中的所有關鍵性結果都可用集合論中的其他公理證明得到。另外，不包含正則公理的康托的集合論，實際上假定了以自身為乙個元素的集合（真類）的存在。

7樓：爆炸鐵鎚

先說一點，ZFC中有一條正則公理：意思是說對於所有不空的集合x，存在x中的元素y，y中的所有元素都不屬於x。這條公理可以排除很多奇異集合，比如：

命題：對於任意集合x，都有成立。

證明：假設命題不成立，即存在一集合，滿足。構造集合，易見不空且有唯一元素，因此。因為只有元素，因此中不存在元素，所有的元素都不屬於。這與正則公理矛盾。

再說羅素悖論，大略看了一下，那篇文章很有問題。首先羅素悖論產生的原因是對概括原則的濫用，而不是什麼「自屬集」。ZFC排除悖論的方式是對概括原則進行限制（分離公理）。

我猜你和那篇文章大概的意思應該想用類似正則公理那種方式排除羅素悖論，但那是做不到的。

構造集合T=，根據概括原則T是乙個集合，問T屬不屬於T？根據上面的命題可以直接排除的情況。那麼，但根據T的定義，T就應該屬於T，依然矛盾。

8樓：

題主的意思是嘗試證明不存在滿足A∈A的集合A對吧。如果你要證的話麻煩證認真點，不要考慮這考慮那的，已知結論過程寫清楚。

當然事實上是證不出的，用集合論其他的公理沒辦法推出這個結論。