1樓：焦子南
Update 2019-01-04：完善最優解的證明。
@傻子.傻問題殺手的找法是最優解，首先注意到：
如果前兩次在不同的地方找鑰匙，那麼應該優先在更容易找到的地方（即：鑰匙丟在此地的概率與在此地找到鑰匙的概率之積較高）找鑰匙，否則不是最優解。
（找乙個小時鑰匙稱為找一次）
用 分別表示鑰匙在家的概率、鑰匙在學校的概率、當鑰匙在家時在家找一次鑰匙成功的概率、當鑰匙在學校時在學校找一次鑰匙成功的概率。
假設 p_sq_s" eeimg="1"/>，但我前兩次先在學校找鑰匙再在家找鑰匙，那麼將前兩次找鑰匙的順序交換（以後的找鑰匙策略不變），找鑰匙的期望時間會減少。理由如下：
記 為找鑰匙花費的次數，則有等式
0)+P(X>1)+P(X>2)+P(X>3)+\cdots" eeimg="1"/>
其中 k)" eeimg="1"/>為前 次沒找到鑰匙的概率。
注意到：若在家尋找 次鑰匙，在學校尋找 次鑰匙，則沒找到鑰匙的概率等於 ，它與尋找鑰匙的次序無關。現在考慮將前兩次找鑰匙的地點交換，容易看出只有 1)" eeimg="1"/>改變了，其他的 k)(k\ne1)" eeimg="1"/>值沒有變化。
如果先在學校找鑰匙再在家找鑰匙，則 1)=1-p_sq_s" eeimg="1"/>；交換次序之後， 1)" eeimg="1"/>變成了 ，比原來的值要小，即 變小。
2. 如果第一次在家找鑰匙沒找到，那麼此時鑰匙在家的概率比初始時低，在學校的概率比初始時高；反之（如果第一次在學校找鑰匙沒找到）則相反。
顯然。結合這兩點可以得到下面的結論：
3. 第一次找鑰匙應該優先在更容易找到的地方找鑰匙，否則不是最優解。
假設 p_sq_s" eeimg="1"/>，但我第一次在學校找鑰匙，那麼我必然是先在學校找 次鑰匙，然後下一次在家找鑰匙（如果始終在學校找鑰匙，顯然找鑰匙的期望時間為正無窮）。
當我在學校找 次鑰匙之後，根據第 2 條可知此時鑰匙在家的概率比初始時高，在學校的概率比初始時低，因此關係式 p_sq_s" eeimg="1"/>仍然成立。而接下來兩次找鑰匙分別是在學校和在家，根據第 1 條可知交換它們得到的解更優，此時策略變成了先在學校找 次鑰匙，再在家找一次鑰匙，再在學校找一次鑰匙。
如果 仍然是正整數，重複上述操作還能得到更優的解，直到「在家找鑰匙」的操作換到了第一次，即第一次是在家找鑰匙為止。
這就說明了「優先在更容易找到的地方找鑰匙」如果是最優解，則是唯一可行的最優解。
為了證明該策略的確是最優解，記該策略為策略 A，相應的期望尋找時間記為 。先證明下面的引理：
4. 對任意正實數 ，總存在正整數 ，使得對任意策略 B，只要該策略的前 次尋找地點與策略 A 相同，就有 E_A(X)-\varepsilon" eeimg="1"/>。
證明：注意到
k)," eeimg="1"/>
先固定正整數 ，假設策略 B 的前 次尋找地點與策略 A 相同，則有
k)=P_A(X>k),k=0,1,\cdots,n," eeimg="1"/>
因此k) \\ =&\sum_^nP_B(X>k)+\sum_^\infty P_B(X>k) \\ \ge&\sum_^nP_A(X>k). \end" eeimg="1"/>
又因為 k)" eeimg="1"/>，可以取正整數 使得
k)|<\varepsilon," eeimg="1"/>
從而 k)>E_A(X)-\varepsilon." eeimg="1"/>證明完畢。
現在假設策略 B 比策略 A 更優，即 。取 ，則能找到滿足上述引理的正整數 。因為策略 B 不可能只在家找有限次鑰匙，或者只在學校找有限次鑰匙（否則期望值會發散），根據第 3 條提供的方法，可以經過有限次交換使得策略 B 變成策略 C，它的前 次尋找地點與策略 A 相同，並且優於策略 B。
從而這與引理矛盾。至此可以斷定「優先在更容易找到的地方找鑰匙」就是最優解。
2樓：傻子.傻問題殺手
這個題只能給出乙個最速尋找法，但是存在一直找不到的可能。
在家裡條件概率
已經在家裡找了m次，在學校找了n次，實際在家裡的概率p_home
為函式p_home(m,n,p,q,P0,Q0)
p_home=P0*(1-p)^m/[P0*(1-p)^m+Q0*(1-q)^n]
上式中p為在家搜尋的成功率=80%
q為在家搜尋的成功率=40%
P0為初始的在家概率30%
Q0為初始的在學校概率70%
最優選擇
那麼在家找，還是在學校找呢？
p_home*p>(1-p_home)*q，就在家，否則去學校
第一步，p_home=30%，30%*80%<70%*40%,去學校
第二步……
按此最快方式找的，預期要3.1856次找到。
這裡可以看到些規律，每次回家找，沒找到，都要到學校再找個3~4次。這是因為家裡找到成功率達到80%，如果沒找到，說明不在家裡的概率大大增加了。而學校找到的概率60%，需要找好幾次才抵得上家裡的效果。
Ln(0.2)/Ln(0.6)~=3.
1。如果允許不是整個小時的搜尋，就有點像複利推導自然對數的過程了。……，對我來說太複雜了。
3樓：打呼嚕的西瓜
起碼有個尋找時間限度吧，最快這個目的條件太奇怪了，因為在非極限時間下，找到鑰匙的概率不為1，因此找不到這個最快時間，當然找不到最優策略。而每個時間限度下，找鑰匙最大概率不一定相同。可以改為，n小時內找到鑰匙的最大概率以及尋找策略;找到概率大於p時至少所花時間。
否則，結論是雜湊的，1h,概率x1%，策略y1；2h,概率x2%，策略y2；……；nh,概率xn%，策略yn。
4樓：今天做數學題了嗎
前提是你的鑰匙是可以找到的，如果沒有這個前提，你的假設條件都不成立。
所以，這個題目應該有乙個前提，就是假設你的鑰匙是可以找到的，然後，才可以用概率去估計。
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