1樓：楊學志
這樣解：
「羅素悖論」的提出給數學界帶來何種影響，如何通俗地理解這一悖論？ - 楊學志的回答 - 知乎
「羅素悖論」的提出給數學界帶來何種影響，如何通俗地理解這一悖論？
2樓：塗鴉
我們在小學的時候被老師教導過，0不能被用在除法的分母。
這就是乙個悖論了。
同樣的，羅素悖論的解，大概是要求在對非本身分子的集合作為子集時，子集數目應當有限。
當子集數目無限時，它就像x/0一樣，沒有意義了。
3樓：shuijingye
羅素悖論並非真正的悖論！X與X的關係只能是同一，「乙個」X不能做為成員包含在「另乙個」X之中，否則「此」X也會被「另乙個」X所包含，最終導致像「所有集合的集合」那樣的無休止的包含關係。在這個悖論中定義集合的條件P（x）自身存在內在矛盾，不可能用分離公理消除。
這一點在他的通俗解釋——理髮師悖論中顯得很清楚。「只給不自己理髮的人理髮」，這個條件如果用於理髮師自己，就呈現出明顯的矛盾，這種情況與賣矛又賣盾的人類似。這個理髮師如果不是這個鎮子上的人，這個條件就不會用於他自己，這相當於分離公理起作用了。
這相當於說「我只給這個鎮子上不給自己刮鬍子的人刮鬍子」，這個陳述沒有內在矛盾。如果他就是這個鎮子上的人，再這麼說，就陷入了自我矛盾之中。所以，如果條件P（x）包含內在矛盾，分離公理是無能為力的。
4樓：紫氣secret
羅素悖論對數學最大的限制，在於證明了排中律以及反證法的巨大邏輯漏洞。
如果不考慮損失的話，禁止在一切證明中使用反證法就可以了。
5樓：wlzjx
羅素悖論,實質上是說,用否定的規定設立自身就會產生邏輯矛盾.集合論的提法是形式的,根本的問題是自身裡有否定的規定.用否定的規定設立自身以外的東西不會自相矛盾,但一自指就必然矛盾.
中國古人矛與盾的故事是同樣道理.你可以不自指,或者不用否定規定,但只要你把二者結合起來就有矛盾
6樓：尊敬的公爵大人
事情是這樣的，如果我們假設乙個條件，但是推出矛盾的結論，那麼這個假設就是錯的。也就是說不存在這樣的集合。我舉個例子，令1=2，那麼1+1=2同時1+1=3同時1+1=4。
這是啥？2=3=4？？？媽呀，數學毀了。
其實啊，說明的僅僅是1=2是錯的而已。
7樓：
提出一種簡單一些，便於非專業人士（高中數學水平）理解的方法
我也不是數學專業，只是業餘愛好者，有一些術語的錯誤，也不想改了，看意思吧。
如果我的論述有錯誤之處，請大佬不吝賜教
8樓：昂扣楓
2023年羅素受到皮亞諾符號邏輯的啟發，將符號邏輯作為分析數學，將數學基礎歸為邏輯的工具。在這一分析中，羅素通過「羅素悖論（集合悖論）」動搖了數學的大廈。一切集合都可以分成「與自己相同」和「與自己不相同」兩大類，前者如鑰匙的集合（作為集合的「鑰匙」不是作為元素的某一把鑰匙）；後者如「概念」（概念的集合仍是概念），那麼「一切與自身不相同的集合組成的集合」與自身相同嗎？
這一悖論可以概括為：如果A是A，那麼A是非A；如果A是非A，那麼A是A。
這一悖論被描述成「說謊者悖論」和「理髮師悖論」引起了人們的關注。由於這個悖論直接影響到邏輯的精確嚴密性，而邏輯又被視為是數學和自然數的基礎，因此解決這個悖論迫在眉睫。
「分支型別論」的最終提出與羅素對「惡性迴圈原則」的採納有關。羅素指出所有的悖論有乙個共同的特徵，即「自我指稱性或自返性」。羅素認為，當乙個人說「我正在說謊」實際上是在斷定「存在乙個被我斷定為假的命題」，但由於他沒有指出究竟是哪個具體的命題為假，因此這個「假的命題」必須是所能斷定的所有的命題（總體）中的乙個，這就意味著「整個斷定」也是他這個斷定所適用的那些命題之一。
然而，這個陳述本身就是要從中選取的總體中的乙個，那麼就要陷入一種惡性迴圈。
在羅素看來，「說謊者悖論」的實質在於：假設了乙個確定的命題的總體（其中所包含的命題的數量應該是確定的），而關於這個總體的乙個陳述可以形成乙個新命題，這個新命題（由於惡性迴圈）進入原有的總體，這就使得總體中命題的數目增大了；但是，擴大這個總體的範圍並不能避免迴圈，因為論及這個總體的陳述的範圍隨總體的範圍擴大在擴大。因此，羅素得出結論，我們不能斷言「所有的命題」，「所有的命題」是乙個不合法的總體，「所有的悖論都共同有這樣乙個關於總體的假定：
如果它合理，它立即就由它自身所定義的新元素而擴大」。
從羅素對惡性迴圈原則的幾種表述來看，該原則的核心思想是：沒有乙個總體能包含只有通過這個總體來定義的分子。如果某個總體的分子一旦被確定，那麼這個「最初」確定的總體的範圍就不能再改變。
悖論之所以產生就在於它們違反了這個原則， 它們都包含將總體「最初」的範圍不合法的擴大，這就改變了總體最初的構成。羅素說以「純粹否定性」的「惡性迴圈」表明了許多理論是錯誤的，而「型別了」的作用正在於說明怎樣糾正這些錯誤」。
羅素的型別是依據命題函項及其意義域來定義的。所謂「命題函項」乙個命題函項是這樣乙個表示式，「該表示式包含乙個或多個未定的成分，一旦這些未定的成分被賦值時，該表示式就變成乙個命題」。
羅素認為，命題函項不像命題那樣非真即假（由於含有未定的成分），它既不真也不假，而有三種可能性：恆真、有時真、恆假。命題函項不是某種已經具有意義的東西，而只是乙個可以容納意義的空架子。
命題函項的意義是相對於主目而言的。羅素說：「乙個函項對一給定主目是『有意義的』條件就是該函項對該主目有乙個值（不管這個值是真的還是假的）的條件。
羅素在簡單型別論的基礎上從另乙個維（即函項量詞）構造了「分支型別論」。這個分層涉及函項的量化。它的核心是把型別0以上每乙個型別中的函項再分成不同的階。
為了簡單起見，我們下面僅限於考察個體的函項（即型別1），以此來把握其中的思想。
給定乙個個體a（a 其實可以看做任何物件，譬如函項，把a設定為個體只是為了有助於理解），我們把所有能取a 作為主目的函項稱為「a 函項」。顯然，「a 函項」屬於型別1。「分支型別論」要求再把「a函項」分成不同階的a函項，其分階是這樣的：
羅素首先確定了乙個最基本的階，這是由直謂的a函項構成的階，羅素稱它們為第一階的a函項，簡稱「a的一階函項」。
所謂「直謂的a函項」是指那些「不涉及任何函項集合的函項」，亦即不涉及其他函項總體的a函項。與「直謂的a 函項」相對應，還有「非直謂的a函項」。「非直謂的a 函項」是指那些涉及其他函項總體的a函項。
「非直謂的a 函項」涉及了函項的量化。設定Φa為任一直謂的a函項，即Φ（）是乙個一階函項的函項變元，現在用函項量詞量化Φa，我們可以得到（Φ）Φa或（Φ）Φa ，前者的意思是「a滿足所有的一階函項」，後者的意思是「a滿足有些一階函項」。由於a是個體，前兩式中a就可以用任一個體變元，譬如x來替代，於是我們就得到函項（Φ）Φx和（Φ）Φx，這兩個函項與Φx不同，它們由於量詞的作用都涉及了一階函項的總體。
根據前述的惡性迴圈原則，凡涉及某個總體或根據該總體定義出來的東西，它就不能是該總體的乙個分子，因此，（Φ）Φx或（Φ）Φx都不屬於一階函項，它們是由「直謂的a 函項」通過函項量化得來的「非直謂的a函項」，羅素把此類a函項作為第二階的a 函項，簡稱「a的二階函項」。以此類推，在二階函項的基礎上，通過二階函項的總體可以構造「三階函項」，然後依照同樣的程式可以構造更高階的函項。
我們進一步可以設定a為型別n的乙個物件，依照上面的程式我們就可以把型別n+1中的函項分成不同的階，它們依次為型別n的一階函項、二階函項，等等。與函項的分階類似，命題也可以分成不同的階。一階命題是指不含任何量詞的命題或只含個體量詞的命題，根據一階命題的總體可以構造二階命題。
以此類推可以構造更高階的命題。
「分支型別論」所構造的就是這樣的乙個型別序列。「分支型別論」的總體思想是：任一函項必定屬於一定的型別和階。
凡涉及型別m中的函項的總體的函項，或通過型別m中的函項的總體定義（或構造）出來的函項，不屬於型別m，而屬於高一級的型別m+1；在某個型別內部，凡要借助第n階函項的總體來定義的函項，屬於第n+1階。通過這樣的分層分階，「分支型別論」既消除了「型別混淆」，也消除了惡性迴圈，因此，一般認為，所有已知的悖論通過「分支型別論」都能排除。
就「說謊者悖論」來說，羅素指出：當乙個人說「我正在說謊」時，依據型別論，我們可以將他的話解釋為「有乙個我肯定的n階命題，且這個命題是假的」，這是乙個n+1階的命題；原來的命題是被乙個n階的量詞所約束，是乙個n階的命題，而由原來的命題得出的乙個n+1階的命題不屬於n階量詞的作用範圍，它不能作為n階的命題變元的乙個值進行代入，因此就不會產生悖論。
悖論都涉及了量詞「所有」，「型別論」最終是通過限制量詞的作用範圍來達到解決悖論的目的的，因為，型別的劃分規定了命題函項的意義域，量詞量化命題函項得來的概括命題如果要有意義，量詞的作用範圍就要限於該命題函項的意義域。羅素說：「每乙個命題函項都具有乙個確定的意義域。
在這個域之內是這個函項對其具有值的一些變目。在這個變目的域之內，這個函項不是真的就是假的；在這個域之外，這個函項則無意義。這就是說，如果乙個命題函項的量化式是有意義的，其中的量詞就要限於一定的意義域，也就是說要限於乙個確定的型別。
「分支型別論」通過分層分階來限制量詞，避免了惡性迴圈從而達到了排除悖論的目的，但是，分支型別論又帶來了一些新的困難。譬如，據「分支型別論」，我們不能說所有的個體函項（或所有的函項）如何如何，而只能說某一階的函項如何如何，由於數根據類來定義，而類又根據命題函項來定義，那麼數也就具有與函項相似的階的區分，這樣，我們就不能說所有的實數如何如何，而只能說某一階的實數如何如何。但是，「把數分成不同的階使許多一般的推理變得無效」。
實數理論依據分支型別論就無法建立起來。羅素也意識到，分支型別論「使得許多部分的初等數學成為不可能」，為了克服這些困難，羅素在分支型別論中增加了一條「可化歸性公理」。「可化歸性公理」是說，任一非直謂函項都有乙個與它形式等值的直謂函項。
但這一說法並沒有受到廣泛的贊同。
請問公理集合論是如何解決羅素悖論的？
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