1樓：樑勤壽
總結一下，純理論上講花多少錢玩都是賺的。但是這個理論的基礎是：
有無限次數去玩這個遊戲，這裡面包含兩個條件：
你有無數的本金去玩，不會存在輸光了錢終止遊戲的情況你有無限的時間去玩，不存在壽命等的限制
無論你贏了多少錢，莊家都賠得起
可見這3點在現實生活中是不可能的，所以才出現了違背直覺的情況。
2樓：姬太陽
厲害厲害，看了好多不同的解釋。
我們是在學期望效用理論講到聖彼得堡悖論的。
大致意思是，真實世界人不是只看期望做出選擇的。比如聖彼得堡悖論中的無窮期望，期望很大，但你不會真的花費無窮的資本去玩這個遊戲，那麼為什麼呢？
因為人實際上追求的是期望效用的最大化，而不是期望最大化（要考慮風險）。
假設效用函式是lnX，期望效用趨近於ln2，所以這個遊戲能帶來的效用只有ln2，那麼就可以和其他的事物的效用來比較，最後得到你會花費的錢。
總而言之，（後續的理論解釋不是回答這個問題的，）這個悖論主要是反駁了期望決策的理論。
3樓：Keyu Chen
期望值沒有問題，有問題的是我們的直覺
我今天看到這個問題自己寫了個labview程式來驗證（別問我為啥不用c
執行了幾次結果如下：
第一次執行
第二次執行
第三次執行
假設的場景是這樣的：連續玩這個遊戲，XY圖1顯示結果為單次玩遊戲的獎金，XY圖2為玩多次遊戲的獎金平均值（圖中有誤懶得改了）。
根據結果發現，我們的獎金平均值開始很不穩定，隨著次數增加穩定在幾元到幾十元，依賴於不定時出現的「大獎」平均值會有乙個跳變，之後緩慢下降，因此理論上我們只要有無限的時間，總會遇到無限大的大獎，這就是期望為無限大的原因。
可是現實中誰有無限多的時間呢？除了他
4樓：民歌手
於雁經濟學：賭場科學的起源│聖彼得堡悖論想象一下，春節時和家人在床上玩牌時，除了希望瞄準機會偷張牌以外，我們還會想到什麼？
圖1 物理學家、數學家帕斯卡（1623-2023年）
那麼，運用概率論的方法，我們如何來研究這個擲骰子賭博呢？
利用你手邊的一枚硬幣（具有正反倆面），如果設定規則：隨機擲出這枚硬幣，正面朝上贏得100元，反面朝上贏得0元。共同的事實是：
每一次隨機擲出，硬幣正面朝上、反面朝上的概率都是1/2。獲知這些之後，帕斯卡和費馬發明出乙個核心概念——數學期望，用以反映隨機擲出硬幣後可能贏得金錢的平均值；數學計算結果是，試驗中每次可能出現的結果的概率乘以其結果的數值總加和。當然的，如上面這樣擲一次硬幣，贏的金錢的期望值是50元。
圖2 一枚正反面圖形不一樣的硬幣
如果我們把擲硬幣這個遊戲做得複雜一點。有以下規則：我們重複隨機的擲出手中這枚硬幣n次（n可以取值從1到無窮大的正整數），只要出現一次正面就能贏得賭注（之後就停止擲硬幣）；同時，我們要保持每一輪擲硬幣的期望值都等於1。
那我們所知道共同的事實是：第1次擲硬幣出現正面朝上的概率是1/2，第2次擲硬幣才出現正面朝上的概率是1/4，第3次擲硬幣才出現正面朝上的概率是1/8，第四次擲硬幣才出現正面朝上的概率是1/16，……，第n次擲硬幣出現正面朝上的概率是1/（2^n）；與此同時，為了遵守我們說的規則，即保持保持每一輪擲硬幣的期望值都等於1，那麼，由數學期望計算式子，我們知道，對應的1次擲硬幣的賭注是2元，2次擲硬幣的賭注是4元，3次擲硬幣的賭注是8元，4次擲硬幣的賭注是16元，……，n次擲硬幣的賭注是（2^n）元。
現在，我們把n次的贏得金錢可能數目（都是1）相加等於——贏得金錢期望值為n，正如我們之前說的n可以取值到無窮大，那麼這樣明顯有結果是：雖然到無窮大的次數才能贏得賭注，但是同時贏得賭注期望值也是無窮大。
如果堅信概率論的科學，那麼作為乙個想一夜暴富的賭徒，可能會懷揣著巨大的錢袋去參加這場賭博，因為他們也相信最後自己是很有可能贏得一筆巨大到無窮大的財富（16、17世紀的歐洲，賭博之風曾盛行於貴族於平民之中）。不知道對此你是怎樣感覺的？
然而，如果我們真的和家人玩過紙牌，會發現事實上我們幾乎不會「自信的」把手中所有的壓歲錢、甚至很大一部分比例的壓歲錢全部拿出來當賭注（其實即使我們所有的壓歲錢，放在父母的錢包裡也是乙個零頭罷了）。好奇的一些人於是去賭場觀察，發現即使我們堅信有可能贏得賭注的期望值是無窮大，但是大部分人可能只會花一小部分錢出來，比如20元，或者80元等等。
那麼，實際的現實怎麼會與概率論科學矛盾呢？
或許我們需要提前學習一下經濟學中效用這一基礎概念，即效用用來度量消費者的滿足程度，或許我們可以近似認為我們擁有更多的金錢那麼滿足程度越高，即效用越高。雖然當我們拿出一大筆錢可以贏得乙個極大甚至無窮大的金錢期望值，但是事實上，這個值卻並不是滿足程度，當我們擁有的金錢越來越多時，我們對其滿足的心理感覺也就越來越弱了（經濟學上，我們說金錢的邊際效用遞減），即預期財富無限大、但效用卻有限。這時我們面臨抉擇，是不是還應該為了獲得更高的期望金錢值而投入全部家當？
所以，一定程度上，我們真正在意的是生活的滿足程度，而非直接擁有多大的財富。
圖3 霧雨朦朧的後頭灣村
這就是聖彼得堡悖論，如果單純的從數學的角度很難理解這一社會現實，但是當結合心理學、經濟學、社會學之後，我們尚能「一斑窺豹」……
References：
馬斯-克萊爾等著，2014，《微觀經濟理論》，中中國人民大學出版社
Nicholson著，楊筠等譯，2015，《微觀經濟理論：基本原理與拓展》，北京大學出版社
5樓：小小一奈米
最簡單的解釋：借用金融學的夏普比率的概念。這個遊戲的收益的標準差是收益期望的高階無窮大。所以相對於風險而言，無窮的期望收益並沒有那麼誘人。
6樓：loblab
有無窮多的錢，卻沒有無窮長的命去賺。
平均收益取決於你要玩多少局遊戲。兩者的關係，用宇宙最強軟體Mathematica模擬並發現的擬合公式接近 (2+log(n))/2log(2)，對應於起步價1塊（有些人的回答是對應於起步價2塊的）。
假設平均一秒鐘能完成一局遊戲，如果從宇宙誕生那一刻開始玩這個遊戲玩到現在，玩了138億年，根據這個近似公式，每局平均收益為：
(log(138e8 * 365 * 24 * 3600) + 2) / log(2) / 2 = 30.7（元）
下面是概要。詳情看這裡。
7樓：愛學習
最簡單的做乙個解釋，在有限次的實驗中，小概率事件是沒有意義的。
比如說我這裡有乙個彩票，中獎率1/10^20，獎金10^30，一元一次，期望是10^10，也就是100億元。這個彩票有意義嗎？沒有意義，投注次數不可能達到那麼高，中獎概率是無限趨近於零的，想要中大獎，所需要投入的資金也是乙個無底洞(10^20元的數量級)。
還可以從另乙個角度來談，就是中獎率，比如說你為這個遊戲投入20元，你至少需要中32元以上才能回本，你賠錢的概率是15/16，只有1/16的概率賺錢，其中1/32概率中32元，1/32概率中64元及以上。
如果想通過期望賺錢，你需要大量小概率的事件中很多足夠大的大獎，才能攤平之前的大量虧損。也就是你必須要參與足夠多的次數(數百萬次)，以減少太多的不確定性，你才能相對穩定的實現盈利。這時候期望值才是有效的。
8樓：
其實這個悖論是來自於經濟學 wiki ，許多經濟學家也給出了一些看法，比較熟知的就是Expected utility theory。但是在我看來這些說法的說服力並不是太強，所以我從隨機變數的高階矩的角度解釋一下。
易知這個隨機變數的方差不存在（由一階矩不存在推出），可以不嚴謹地理解為方差無窮大，這意味著這個隨機變數的「波動很大」，所以賭博者必須要有能力承受這種波動才會選擇進行賭博。
舉個例子，乙個遊戲有兩種可能，以 的概率贏 元，的概率輸掉 元，那麼這個遊戲的期望約為 元，但是可能很少有人會願意用1萬元下賭注，因為這個遊戲的三階矩（偏度）太大了，也就是說我們即使知道一旦獲勝那麼就會賺錢，但是還是無法承受獲勝之前輸掉的錢數。
所以從這個角度說明了是否參與乙個賭博不僅要看獲勝的期望，還有看它的方差，偏度等。
這個悖論的巧妙之處就在於它給出了乙個一階矩不存在的乙個隨機變數，這樣我們就無法從更高階矩的角度進行解釋這個分布，於是這裡我把它轉化為乙個類似的但是高階矩存在的問題後，可以發現理性人不會參加這種贏了很賺但是獲勝機率很小的問題，例如彩票。
9樓：makangming
概念定義:
1次:投1次硬幣
1輪:投n次硬幣直到投出正面
理論上概率會出現小數,但實際上輪數只會是整數,所以對輪數向下取整計算期望值:
2輪:4輪:
8輪:輪:
當n=10,參與1024輪,收益10240,投硬幣次數是:
var sum=0
var n=10
for(var i=1;i<=n;isum+=i*Math.pow(2,n-iconsole.log(sum)
2036次.假設每分鐘投10次硬幣,需要投3個多小時.
每輪的費用x1024+投2036次硬幣花費的時間和精力=10240收益
時間和精力是機會成本,不投硬幣還能在其它地方賺錢
10樓：一江
其實這麼理解就好了，無論你一次花多少錢去玩，只要你玩足夠多次，根據概率來看你一定是賺的。
問題就是玩的次數要足夠多你才會賺。
比如你花25元玩
玩了2的10次方也就是1024次，花了25600元但你如果在這1024次中，有一次能夠有2的15次方分之一也就是32768分之一的運氣，那你就賺翻了。
拿到更多錢的概率會隨著你玩的總次數越多而增長。
你玩的越多，拿到更多錢的概率就越高。
你玩的足夠多，就一定會賺。
11樓：白虎保護我
剛才看了一本書，書裡的觀點是。
1沒有人在現實中會擁有無限的財富，假如把獎金定義為最大10億美元，則數學期望為15.93美元。根本不是無窮大。
2還有乙個解釋是，手續費是一億，乙個人有一億分之一可能會獲得兩億億，那你會付一億嗎？
其實一億就夠花了，沒必要冒險賺那兩億億。
12樓：Bob
個人認為其實這根本就不是乙個悖論。這個實驗的期望值確實是無窮大，但是無窮大的期望是建立在無窮大的實驗次數上的。通過計算機的模擬，前面（EDDE）已經給出答案了：
那麼站在遊戲提供者的角度上來說，你就需要考慮在你的賭場經營期限內，這個遊戲會被玩多少次。按上面的公式，如果會有100萬人來玩這個遊戲，你把獎金定在20元以下都會盈利的。
最後這裡引出了乙個結論，就是我們不能完全按照期望來做決策。我們還需要考慮期望和實驗次數的關係，只有當實驗次數和數學期望無關時，我們才能單純的按照數學期望來做決策。
聖彼得堡悖論是否已經解決了？
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