1樓：
可以增加，假設甲是乙個足以表達出常用數學的公理化體系。
如果有人能向你證明A不是甲中的定理（注意：不是證明非A是甲中的定理！），那麼它至少告訴了你一件事：
甲是自洽的。因為甲如果不自洽，那麼它能證明所有的命題，包括A和非A。而第二不完備性定理告訴我們：
如果「甲是自洽的」為真，那麼甲是不能證明這個命題的。即便你知道甲，這也是一項新知識。
而且，如果甲自洽，那麼以下公理系統都是自洽的：
乙：=甲+公理「甲是自洽的」
丙：=甲+公理「甲不是自洽的」（想想為什麼？）丁：=乙+公理「乙不是自洽的」
戊：=丙+公理「丙是自洽的」
2樓：Ivony
如果是不特定人的證明，當然沒有增加任何資訊。
我們先假定形式系統甲和證明的方法是所有人都知道的，所以這一部分就成了共有知識。在這一點確定的情況下，那麼命題A是不是形式系統甲中的乙個定理顯然就不是資訊。
所有的分歧其實無非是形式系統甲和證明的方法到底是不是共有知識的問題。
我們通常不會認為1+1=2比1+1蘊含了更多的資訊。這是因為我們認為這種程度的加法運算是每乙個人都應該會的（也就是共有知識）。所以任何乙個人在拿到1+1的時候都能正確的計算出=2，而不會計算出=3或者其他奇怪的結果，同時對這個符號的理解也不會產生歧義，在沒有額外的說明的時候，1就是代表第乙個自然數，而+就是代表加法，2就是第乙個自然數的後繼。
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