1樓：予一人
這裡不需要選擇公理，只不過這裡出現了廣義上的函式極限，即在聚點處定義的函式極限。[1]
首先，依Lagrange 中值定理得到如下等式
現在對該式取 時的極限，就有
這並沒有任何問題，關鍵是右邊這個極限形式應如何解釋。
事實上，雖然 可以夾逼著 也無限地逼近 ，但是 逼近 的過程可能並非一般。暫且回顧一下函式極限的通行定義，每當我們要定義這樣乙個事情： ，總是要求 能夠進入的某個去心鄰域且完全填滿它，然而 逼近 的過程就無法保證也是如此，因為它十分可能是「忽左忽右」、「蹦蹦跳跳」地以一種非常特殊的方式靠近 。
實際上，這個事情，用分析的語言來陳述，僅能表為：
是 的聚點，也即： 0,\exists \xi \in S:|\xi-a|<\delta." eeimg="1"/>
這個事實是容易證明的，只要在 或者 上運用Lagrange 中值定理就可以了。
現在注意到題設條件，已然給定 ，這無非是說：
0,\exists\eta>0,\forall x\in \mathring(a,\eta):|f'(x)-l|<\varepsilon.\\" eeimg="1"/>
那麼，很顯然，也就必然成立
正是在這個意義上，我們也說 [2]
2樓：
並不需要。證明不需要AC的方法是構造出給定區間上所有滿足中值性質的點的集合上的選擇函式：
給定區間,
令如果滿足, 則
因為是連續函式，所以是緊緻的，在實數軸上就是有界和閉的，所以我們可以定義乙個選擇函式
3樓：獨孤星夜
我感覺的你對證明的理解有點問題。我重新說下吧。。
條件是假設 ，那麼f在a點可導，並且導數是l證明就按你說的，但我覺得用反證更好理解一點。假設f在點a處到導數不等於l（包括不可導的情況），那麼存在0," eeimg="1"/>對任意的0," eeimg="1"/>存在x，使得 並且
\varepsilon_0," eeimg="1"/>由中值定理，存在乙個在 x 和 a 之間使得\varepsilon_0 " eeimg="1"/>。
再令,與極限為L 矛盾。
在我看來。。似乎沒有用選擇公理。
能用極限定理能證明乙個數列的極限可以等於任何數嗎？
Luke Z 我們來看看答主的過程 節錄 令 n 1 n 得n 1 1 這一步就是癥結所在。我怎麼解都只能解到 n 1 1 哦。既然如此，取0.1，你看n是不是就沒法取了。一般問題同理。煩請回初中好好練練解不等式再來看微積分。如果你還會畫函式圖象，更好。我之前也有和題主一樣的想法，直到幾分鐘後我畫出...
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