常微分方程對應的一元函式通過一次導就能得到導數方程從而確定一階微分方程。為什麼還會出現高階常微分方程？

1樓：南中國海的一條魚

因為微分方程不是已知函式求各階導數及其關係，而是已知各階導數和函式的關係求函式。

高中物理教材上講簡諧運動的時候，提到只要有那麼這個運動一定是簡諧運動，但以我碰見乙個命題一定要證一證的「性格」來說，這個問題的確難住了我。

直到學了高數，又找到了拆項降階積分因子分離變數解微分方程的方法，我才徹底搞明白為什麼就一定是簡諧運動。不過這裡我不論述到底是為什麼。有關內容請參閱

如何推導高階常係數線性常微分方程的解具有自然指數形式的充分必要條件？

需要說明的是，中的指的是質點的位置，原點是質點做簡諧運動時的平衡位置。公式表明當質點在軸正半軸時質點所受的力的方向是負方向，而當質點在軸負半軸時質點所受的力的方向是正方向。

依據牛頓第二定律，，再代入到中，得

移項，得．

試問如何通過計算出物體做的是簡諧運動呢？要想通過計算表明物體做的是簡諧運動，就必須給出相應的．而式子中根本沒有任何一項有因式．

於是根據質點運動加速度的定義，得，代入到，得

這樣，二階導數就冒出來了，然而在解出這個微分方程之前，你也不知道裡的究竟是什麼樣子的，這就是高階微分方程存在的理由。

還有，電氣、電子類專業會學到電路，試問，為什麼振盪電路中的電流和某結點的電壓均是正弦變化的？這也需要二階導數。

2樓：呆萌的suk

微分方程的引入不僅僅是對函式求導從而建立方程，在物理學裡面經常會基於一定的物理公式而引入微分方程。

對於常微分方程，舉個彈簧振動的例子：

彈簧振子

假設地面光滑，對小球進行受力分析，得到彈力即為合力，根據牛頓第二定律，有：

考慮加速度為位移的二階導數，有：

從而引入了位移對時間的二階常微分方程。他的解是乙個余弦函式，也就是經典的簡諧運動表示式。在這裡牛頓第二定律和加速度定義式為引入原因。

偏微分方程也不例外，例如薛丁格方程的引入：

即考慮粒子波函式表示式：

分別對時間（t)、空間（x）求導得：

考慮到題主沒有學過多元微積分簡單說一下偏導運算的規則：把不求導變數視作常數，對求導變數按照一元的規則求導。

考慮能量動量的關係式：，

故有：，即一維下的薛丁格方程。

可以看到這裡引入對x的二階導數的原因就是能量動量的關係式。

3樓：

你這是在認識邏輯上有問題。

微分方程不是為了從乙個函式出發，得到關於（包含）它的"一階導數"的方程。

而是，微分方程是為了描述某些物理規律（特別是涉及變化率的）或其他規律，需要借助函式的一階導數，二階導數，甚至更高階導數，甚至一階或高階偏導數，而建立起來的模型。

微分方程的求解，是找到滿足微分方程（模型）的（原）函式。

4樓：

畢竟只用一階是學物理的人的習慣（溜了溜了）。其實考慮一些物理問題，比如弦的振動，熱的傳導什麼的，就已經涉及到二階微分方程了，還不是那些可以寫成一階微分方程組形式的二階方程。況且並非所有的微分方程都有解析解，僅僅用導數來看似乎有點不妥。

數分學完還要學常微分方程，泛函，偏微分，加油吧！

5樓：終將知道

數學的思想被來就是推廣推廣再推廣，有了一階導，當然要研究研究高階導時的情況，有了常微分方程，當然也必然會有偏微分方程了，至於應用能不能應用上，不歸數學管，某種意義上，無論數學形式再怎麼複雜，現實世界中總能找到某種模型和這個數學模型很相似，可以近似使用，這就是自然科學離不開數學的原因吧！

6樓：奪命書生

高階微分方程存在的必要性？

從數學角度看來，高階可導的函式，一階導數滿足某一等式，高階導數仍然滿足。

從物理角度來看，某些問題的已知條件根本不會有相應函式的一階導數的具體值，而會根據某些高階導數關係入手。