1樓：蘇理士多雲
通過物理直覺猜出這樣的形式，顯然對於後來者在學習時是比較難以理解的，但是如果換個角度，假如我的目的是想從平移算符中構造出乙個厄公尺算符的話，一切就顯得比較合理了。
假定開始時我們有乙個準確地處於周圍的態，現在我們考慮一種操作：它將這個態改變為另乙個準確定位的態，這次位於周圍，而其他的一切性質(如自旋)都不變。
這樣的一種操作被定義為：無窮小平移，實現這種操作的算符用來表示，即：
分析無窮小運算元需要具有性質：
由於該算符在操作後，其他性質均不變，因此(按照其他本徵態展開)必然有：
由於右矢的任意性，於是無窮小平移需要是么正的：
考慮兩個相繼的無窮小平移：首先平移，接著在平移。那麼其最終的結果應該是向量之和的單一平移操作，於是我們有：
考慮相反方向的平移，這個反方向的平移與原來的逆相同(參考2)
當時，平移算符約化為恒等算符：
現在我們需要將算符進行一下改寫，我們令：
於是：其中：。
通過式我們來對算符進行分析：
相繼平移考慮兩項相等，並且考慮方向的任意性，於是我們可以斷定：二級項可忽略。
么正性由於上述1我們知道可忽略的二級項，於是我們有：通過性質2，我們發現算符是厄公尺算符。
逆操作通過么正性可知：
通過逆算符的操作可知：
對比可發現：該性質說明算符是厄公尺算符。
極限情形由性質3也可知：於是性質4說明了二級項可忽略。
總結
以上四個性質說明了兩點：
算符是厄公尺算符。
二級項可忽略（或者說為）。
接下來，我們用式來表示算符，並分析厄公尺算符與算符之間的關係：
首先注意到：
以及於是：
我們知道：
於是式可以寫成：
若寫成分量形式：
用式表示後：
於是我們得到了座標算符和厄公尺算符的對易關係：
關於它與動量算符的關係，後面有時間再更新吧。
2樓：盧健龍
@Narayan 的回答挺詳細，但對於動量算符 的出現，我有點不同的看法。
在將無窮小平移算符寫成 的形式時，我們知道的只是其中的是乙個Hermitian算符，以及 作用在波函式上的效果。此時還不涉及到動量算符 。
接著通過多次累加操作可以得到平移算符 。利用 我們可以進一步得到 和 的對易關係 。此時才能根據位置算符和動量算符的對易關係得到 ，於是動量算符 就出現了。
其實 和f之間的關係就像動量和能量之間的關係，我們可以將 理解為空間中的頻率。
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