1樓：衝衝衝
有人用極限來解釋，說無窮小是乙個函式。有人用了非標準分析來解釋。
讓人迷惑的是，無窮小不是實數，但是，它的運算又會得到實數。不管是傳統的極限說法，還是超實數說法，都是要解決乙個問題:
無窮大，在所有實數之外，可以理解，但是，無窮小，如果包含在實數之內，實數就不連續了。實數軸上，點數一一對應，沒有它的位置。怎麼來自圓其說？
現在也沒完美解決。超實數的說法就是類似「波粒二象性」，巨集觀是連續的，微觀是點就成了另乙個維度的直線？
我傾向於，超實數的說法，只是用尺度來解釋。
可以這樣理解:
1.無窮大，是實數的寬度範圍，它不是實數，大於所有實數，是超實數。它的倒數，無窮小，也不是實數，是超實數，小於所有實數。
那麼，實數a，a+ε=a。
相當於，實數具有解析度，無法識別ε。模擬，保留一位小數0.5+0.01=0.51，但是，保留一位小數，還是0.5。
或者說，在當前尺度，無窮小是看不見的超實數。
2.雖然無窮小是超實數，不是實數，但是，1=∞×ε。所以，它的運算結果可以回到實數。同時，這裡清楚表明，無窮小不是0。
所謂的極限是0這是個強行的解釋，因為，沒法在解釋極限了。實際上就是約等於，但是在本尺度上，確實不會改變實數的大小，也就是等於咯。
2樓：513216
無窮小不能視為整數通過四則運算所能創生出來的某個給定的數，應該視為這些數上的操作。
回到積分，極限，餘項，不等號的定義，也許可以理解。
任何語言都暗含了語言之外的東西，因為理解乙個東西的前提是先接受它，這個接受就是概念與形態間的條件反射建立。
3樓：丘丘醬
「都說o（1）不等於0」？誰跟你說的？同濟大學編的高等數學上冊無窮小量這一章明確說明常函式0也是無窮小況且即使不說根據定義也能驗證這個命題吧？
而且定積分那所謂的誤差是和高階無窮小有關我不知道你的高數怎麼學的
4樓：
o(1)≠0但是積分上為啥就把o(1)當成0處理？
o(1)≠0，是因為它是乙個無窮小量，這個無窮小量不在實數軸上，積分上把o(1)當成0處理，是因為它的極限等於0。
積分就是沒有誤差，如果o(1)≠0則積分不應該是有誤差的麼？
積分的誤差值是你在標準分析的實數軸上找不到對應的非零實數來表示，所以這個誤差值在標準分析的框架下是0。
不在標準分析框架下的積分誤差是屬於非標準分析研究的內容，我是很反對把無窮小量當成變數來看待的，把無窮小量當成常量來看待可以解決很多問題。標準分析只給出極限思想的定義，卻無法解釋極限思想是什麼意思，說難聽點，就是極限思想在標準分析的框架下是解釋不清的，要解釋清楚極限思想是什麼，要用非標準分析才能解釋明白。
標準分析的極限思想是無窮小空間賦予標準分析空間的一類極限，屬於第一類極限思想。同樣，還存在第二類極限思想，第二類極限思想是無窮大空間賦予完全實數框架下（含不在標準分析裡的實數）空間的第二類極限。明確地說非歐式幾何只是第二類極限思想的一類幾何結構，第五條公設涉及的歐式幾何跟非歐式幾何在第二類極限思想裡是相容的，這事情要從證明連續統假設是個偽命題說起，ZF6構造了乙個集合N2是標準分析框架下的N無法構造出來的，N2用ZF6證明了N的正確性，N用ZF6卻無法證明N2的正確性，而N2的空間裡歐式幾何跟非歐式幾何是相容的，歐式幾何在N的空間裡，非歐式幾何在N2的空間裡，N2的空間證明了N的空間的正確性，同樣還存在著R2是標準分析的R用ZF6無法構造出來的，平行線的交點座標之類的在非標準分析的框架下是可以進行準確計算的，所以明白的人會知道第五條公設的證明方法其實已經被非標準分析找到了。
當然，第二類極限思想還存在很多的其它幾何結構，很多的幾何結構要比非歐式幾何複雜。上面的實數還可以推廣到複數體系。
5樓：小奇大人
正（負）無窮小量集合的下（上）確界是0，無窮小量不是0，但是可以比任何乙個固定的非0阿拉伯數字都更接近0。無窮小量之間可以作比較，存在更容易接近0的無窮小量。無窮小量是乙個變化量，用來描述乙個量的變化，比如乙個訊號的強度1/n，n代表接收距離，當n趨近無窮時這個訊號的強度就趨近於0，這個0並不是說一開始就是0，而是說隨著距離的增大訊號開始越來越小無限接近0。
6樓：
o(1)不一定是0（但0作為常函式也是o(1)），但它的極限是0.
積分定義的是極限，而不是部分和。
你可以用別的方式構造和，只要極限跟積分相等就可以了。
取了極限之後，o(1)就是0了。
所以你在用和近似積分的時候，差個o(1)無所謂，反正最後要取極限的。
7樓：浴西風
你這個問題在很久以前乙個叫貝克萊的主教也提過。
當然了，微積分在創立之初(牛頓萊布尼茨的年代)並不那麼嚴謹，貝克萊也是在此時質疑過微積分的理論。直到後來的魏爾斯特拉斯和柯西等人使用ε-δ語言和其他工具，才使得微積分和極限的理論趨於嚴謹。
所以題主可以去了解下微積分的歷史，或者看看數學分析的書籍，來解決這個問題。
或者，題主在掌握了這些之後，仍要創造一套新的數學體系的話，這種想當開拓者的想法也是會讓題主失望的。因為早在你之前，「非標準分析」就已經被創立了，並且得出了一些與主流不同的結論，你也可以嘗試了解。
8樓：龔漫奇
簡單的說，無窮小是極限為零的函式，所以說零是無窮小中的乙個；除了零以外，還有很多不是零的無窮小。
至於你說的在利用微元法計算定積分的時候，如果無窮小不是零的話，那麼無窮多個無窮小加起來應該有誤差的。這裡頭的原因，實際上是因為從極限的角度講，當△x→0時，每乙個部分（微元dA）都用微分（f(x)△x）代替時，它的相對誤差是→0的，而根據初等數學的原理：求和不增加相對誤差的。
因此導致每一部分代替者之和與原各個部分之和的相對誤差是→0的。而乙個代替的相對誤差→0，導致其絕對誤差也→0，因此，最後的計算結果是沒有誤差的。具體的詳細的解答見下面有關微元法的鏈結（其中的微元法2思路就更加的奇妙了，他是說從巨集微觀的角度，首先那個微觀中的代替的相對誤差本身就是0，而求和又不增加相對誤差，所以最後和的代替以後的相對誤差還是零，導致和的代替的絕對誤差也是零）：
龔漫奇：定積分的乙個概念為什麼是這樣的呢？
9樓：doubt3
無窮小是變數（函式），準確來說，應該是函式類（就是一類函式，是符合同一極限趨向下，極限值為0的所有函式），在x→x（或x→∞）的過程中，極限為0。
注1：無窮小是變數。
注2：不要很小很小的數當做無窮小。因為，比如a（a≠0）是很小很小的數，但是a的極限是a，不是0。
無窮小是這樣的函式，在x→x（或x→∞）的過程中，這函式等我絕對值能小於任意給定的正數ε，而很小的數如億分之一，就不能小於任意給定的正數ε（比如取ε＝千億分之一）。
很小很小的數，只要它不是0，作為常數函式在自變數的任何變化過程中，其極限就是這個常數本身，不會為0。
注3：0是可以作為無窮小的唯一的常數。因為如何f（x）≡0，那麼對於任意給定的ε＞0，總有|f（x）|＜ε
10樓：張三
無窮小量在給定變化過程中趨於0，要是所有無窮小都等於0，就不存在導數這種東西了....那樣所有函式的導數就都是0/0....
11樓：
無窮小量是個變數，假設自變數是 應該把關於它的無窮小量理解成某函式
且 在 趨於某個值時是趨於0的.
你說的積分的問題我沒懂，舉個具體的例子？怎麼把無窮小當成0了？
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