數學的定義本質是什麼，所謂的良好定義well definded 一般如何理解，各種情況下有何不同？

1樓：dtclzy

我對數學沒有什麼研究，對【歧義】比較有研究，試著圍繞題主的疑問說一下自己的觀點。

1、定義僅僅是對概念的一種描述方式比如以相對熟悉的概念解釋陌生概念？

答：我認為是這樣的，所以定義並沒有【標準答案】，只不過我們能夠區分哪種定義【更清晰嚴謹】。

2、不給出明確定義一定無法交流或傳播思想麼？

答：不是這樣的，比如【疼痛】這種最常見的詞，讓乙個普通人說出它的定義很困難（就算勉強說出，也是五花八門的）。但是對於這些常見的詞彙，我們非常清楚什麼時候用、該怎麼用。

因為我們對於這些詞彙的學習，有點類似於【條件反射】：在【大量的日常交流經驗】中，根據【語境】我們自發的學習了它們的含義。

只不過，要區分【使用場合和目的】。如果使用場合變為【醫學交流】，需要圍繞【神經】等因素深入原理的去定義【疼痛】，那就不同了。

又比如【1、2、3……】這樣的自然數，讓普通人去說嚴謹的定義基本說不出來，甚至於會產生【1就是1 怎麼還需要定義】的想法。數學家則可能根據【需求】去制定一套定義標準。

那麼，普通人不理解這套定義標準，是否代表他們不理解自然數，且無法使用自然數交流了呢？並不是這樣。只不過是，對於數學家之間那些更加深刻的【需求】，普通人無法理解和交流。

就如同不理解【溫度計量】的人，也可以用【冷水、溫水、熱水】交流，但在某些需要精確溫度的場合，他們就無所適從了。

3、（數學）定義的本質是什麼

過於偏向哲學的話題我不擅長，只不過我習慣於思考【你需要某個定義，原因是什麼？】

比如我向某個人提到乙個詞，叫【默慈金數】，我為了讓他明白這個詞是什麼意思，而闡述定義：

默慈金數是在數學中，乙個給定的數n的默慈金數是「在乙個圓上的n個點間，畫出彼此不相交的弦的全部方法的總數」。

不管這個定義是不是官方定義，這個描述是有比較大的【歧義】的（人們可能會產生好幾種理解），所以它不能算是乙個好的定義。

而針對【讓他明白這個詞是什麼意思】的目的，我所做的【定義】不必拘泥於【語言】，比如我以n=4為例，畫出所有符合題意的情況。這種方法可能比任何純語言描述，都更符合【well definded 】

4、例項

我比較推崇的是費曼的【費曼技巧】，費曼推崇【通俗解釋】，他認為【支援同一句話的人，理解方式可能是五花八門的】，所以要盡可能的略過晦澀的術語，用更加通俗的解釋，去檢視每個人的理解是否一致。（也即要避免圍繞某個抽象語句去做【復讀】）

對我影響最深的例項，就是【兩孩概率悖論】（boy or girl paradox）。

這個問題就是典型的【ill defined】。只不過，它是如此的難以察覺，以至於在數學家之間也是爭論不斷（比如哈弗教授加里·史密斯《簡單統計學》，就是堅定的1/2派，駁斥了很多專家的看法），且在中國成為了最常見的【月經題】之一。

如何針對這個題目做出【well definded】的嚴謹描述？其實很簡單，從【現實】思考，以【第一人稱記敘文】的形式，描述你遇見了什麼情況，你認為【等價於】這個題目。（用wiki的話說，depending on how you found out that one child was a boy）

按照這個方法，你會發現【即便是支援同一種答案的人，對題目模型的理解，也可能是五花八門的】

【貝特朗悖論】也類似，從【現實】角度思考乙個例項，你在什麼情況下，出於什麼需求需要隨機取一條弦，就能分清不同目的下【隨機取弦】的方式問題。

5、結語

這個東西是有不同流派的，像費曼這種人（包括我在內），就屬於【經驗主義派】。喜歡用【現實】中的例子，去說明和定義乙個東西。比較反感過於【抽象】的概念，覺得【抽象】的語言容易引起【歧義】或者是【虛無縹緲的理解】。

這種思想會與很多數學家產生衝突，比如針對【無窮】這類抽象概念，它的定義是什麼，它是否合理且無可替代，就引發了比較大的衝突。