1樓：
完全平方數模 8 的餘數只能為 0,1,4 。若 ，那麼等式右邊模 8 的餘數必為 5，矛盾。
對剩餘情況一一檢驗，可知 是該方程的唯一解。
2樓：TravorLZH
通過列舉，易知 為範圍內方程的滿足 的唯一解。現在考慮 的情況。對兩側取8的同餘，得：
現在我們就來證明一下為什麼 就意味著b無解：
事實上對於任何整數 ，有：
因此自然數n模8的二次剩餘（quadratic residue）的週期為4，因此我們只需要說明5模8不在這個週期內就可以了。通過簡單列舉可得：
因此 意味著 時b無整數解。
3樓：靈劍
最直接的想法是將b寫成2^m + n，其中0<=n<2^m，這種分解是唯一的，因而有
b^2 = 2^(2m) + n2^(m+1) + n^2 = 2^a + 5
m=0時，無解
m=1時，a=2, b=3是唯一符合的解
m>=2時，有
2^(2m) - 5 <= 2^a，而此時有2^(2m-1) >= 8，因此2^(2m-1) < 2^a，又因為2^a < 2^(2m+2)，因此a=2m或2m+1
a=2m時，n 2^(m+1) + n^2 = 5，無解
a=2m+1時，n 2^(m+1) + n^2 = 2^(2m) + 5
注意到n是奇數，將它寫成2k+1的形式，有
k 2^(m+2) + 2^(m+1) + 4k^2 +4k + 1 = 2^(2m) + 5
k 2^m + 2^(m-1) + k^2 + k = 2^(2m-2) + 1
左邊是個偶數，而右邊是奇數，因此矛盾。
本質上來說，可以考慮乙個完全平方數對8取模的結果，嘗試之後會發現它只可能是0, 1, 4之一，不可能是5，因此一定有2^a < 8，依次嘗試a=0,1,2，會發現只有a=2有解，所以解是唯一的。
4樓：三陽開泰
因為b^2=2^a+5, 右邊是奇數，那麼左邊也必須是奇數，就是說，b肯定是奇數。
把等式變換一下，
b^2=2^a+5=2^a+4+1，移位得b^21=2^a+4，
(b1)(b+1)=
2^2×2^(a2)+2^2=2^2(2^(a2)+1)，因為等式左邊兩項都是偶數，右邊也必須有兩項偶數，而右邊括號裡面(2^(a2)+1)是奇數，所以必須乘上乙個2,而得到乙個偶數2(2^(a2)+1)和左邊的偶數匹配，右邊剩下另乙個偶數2。又因為左邊b1小於b+1,而右邊2小於2(2^(a2)+1), 所以，必然是
b1=2, …………(1) 且
b+1=2(2^(a2)+1)，…………(2)解這兩個等式，得：b=3, 代入(2),得3+1=2(2^(a2)+1)，
2^(a2)=1 , 得
a2=0, 解得
a=2。
由此a=2, b=3, 是等式b^2=2^a+5 的唯一解。完。
5樓：劉醉白
文末更新…
原回答：
首先 時無解，所以等號右側是奇數，
則 是奇數，等式兩邊模8，
，當 時，
，矛盾，
所以 ，逐一驗證即可：
時， ，矛盾，
時，有唯一解 。
更新：如果對丟番圖方程感興趣可移步回答：
劉最白：如何證明不定方程是否有解?
這個回答中我整理了知乎上各類丟番圖方程問題，有很多知乎大佬的精彩解答，值得一看！
6樓：Simon1314life
一點一點來分析。
首先右邊是2^a+5，2^a為偶數（2^0次方無解，5為奇數，因此右邊整體為奇數。
那麼，由於奇數^2才等於奇數，所以b為奇數。
（這裡追求速度就寫的沒那麼嚴謹）若b為奇數，則b為2k+1，那麼b^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1。
若k為偶數，則b^2=8n(k+1)+1。
若k為奇數，則b^2=4k(2m)+1=8km+1。
兩種情況下，對8取餘（取模）都為1。因此，可對問題左右同時對8取餘，即：
1=2^a mod 8+5
則:2^a mod 8=4
即:2^a=8k+4
2^a=4(2k+1)
2^(a-2)=2k+1
2k+1顯然為奇數，但2^(a-2)應該為偶數，那就不成立了。所以，唯一的可能就是a-2=0，這樣的話滿足1=2*0+1。
因此答案就是a=2，b=3。（僅個人看法，大神若有更快的方法勿噴）
7樓：請多放香菜
顯然，原問題等價於求適當的自然數 ，使得 為完全平方數。由此可以得到下面這一種解題思路。
解：當 時，窮舉可得僅有 滿足條件，此時 。
當 2" eeimg="1"/>時，假設存在自然數解，將原式整理得
，其中 0" eeimg="1"/>，且有 b-1>1" eeimg="1"/>
注意到左側為偶數，因此右側也為偶數，即 和 為兩個連續偶數，因此有
此時右側為兩個連續正整數之積，其乘積為必然偶數；而左側顯然為奇數，於是產生矛盾。
即當 2" eeimg="1"/>時不存在自然數解。
綜上所述，該方程有且僅有一組自然數解 。
如何證明不等式 sinx x x x ，x R？
予一人 這個不等式被稱為Redheffer不等式，1969年發表於 美國數學月刊 首先，很清楚，不等式兩端的函式都是偶函式，我們只需要證明不等式在 時成立即可。當 時，若補充定義 不等式以等式形式平凡地成立 當 pi eeimg 1 時，引入新元 0,eeimg 1 不等式化為 這依然成立，因為顯然...
如何證明這個微積分等式
黃普霖 思路一嘛，直接算吧。思路二嘛 原式 da 1 k cosa 1 4 ksina 即對函式f a 1 1 k cosa 1 4 ksina 求在區間 0，n 區間的定積分，令 a 2b，則函式f a a 2b為復合函式，da 2db，且a 0時，b 0，a 時，b 2。即 f 2b 1 k c...
如何證明不等式 lnlnln3814280 1？
XeonDA 注意到lnlnln3814280 1.0000000056976736071107650354133441272010 該結論顯然成立。 提問者是在家閒的蛋疼嗎，要不你再去想想lnlnln 3814279.1047601975 1吧，有這精力你咋不去看看為什麼 1 1 2 呢 這麼接近...