1樓：李某
其實這個只需要運用一下無窮迭代的思想和這個公式的核心就可以完美證明了，具體如下：
，變換一下，可知 ，這一等式在實數域均成立， 在正實數域，就可以簡化為 ，所以只要把這一等式給迭代到 這一項，使之成為 ，這時產生的等式就變為 然後接著對根號裡面相同位置的數進行迭代，直至無窮，就可以得到拉馬努金公式，之後看所用的核心，其實就是上面常用的平方差公式，所以也可以得到其應用範圍，不僅限於 ，對於 ，乃至於極端點的話， ，都是成立的，不過可能寫出來不是那麼好看就對了，但是對於任意非負整數，都可以應用上面拓展的公式
只要迭代是無窮的，那麼上式末端的 就體現不出來，即後面總有對其的下乙個迭代，這樣就出來了拉馬努金寫的那個形式（的自然數擴充套件版）
這算是比較優美的等式了，沒有用到什麼夾逼準則、極限趨近啥的，完全是正向構造，且顯然可知左右完全相等，所以通過平方差公式可知拉馬努金恒等式是平凡的。
現在用這個延展式給出拉馬努金恒等式，令 ，則
可見拉馬努金恒等式只是這一等式的乙個特例而已，現在把 代入，就有 這種就太顯然了，來個-1的，有
可見對於負數，需要將其前面的符號考慮進去，利用 進行迭代，這樣出來的稍微麻煩一點，但寫成公式不會太麻煩，就是多乙個 ，給前面都加乙個這個就好，寫出來稍微長一點，長這樣
用這個公式再代入-1的，就會是這樣了
這裡有點意思的就在於 ，所以如果是用整數的話其實到0這裡就結束了，即取負數或者0都可以在有限步數內完成運算，但顯然在正數範圍內這樣是無窮的。
2樓：Retarded
樓上回答很直觀，然而並不嚴謹
這個問題在2023年的數學吧就有大神給出嚴格解法了見下圖（最後一步有誤，需要用那個遞推公式才能證明是0）原帖位址
更新：這個問題首先是要弄清求什麼極限，在數學裡，省略號是沒有意義的。或者說，要把省略號具體成乙個極限，不然這個證明就是錯的(迴圈論證)
3樓：Richard M
逆推下去；
3=√(1+8);3=√(1+2√(16))；
3=√(1+2√(1+3√(25)))；
3=√(1+2√(1+3√(1+4√(36))))；
按照上述方法無限寫下去即可
如何直觀地理解阿貝爾變換恒等式？
Locietta 高讚提到了Abel變換是分部積分的離散版本，不過第一眼看上去可能不太明顯，我當時學到Abel變換的時候完全沒看出來和分部積分有個啥關係嘛 菜 這裡簡單寫一下作為筆記啦。當然我們也可以把它寫成 它就是簡單的微分法則 兩邊做一次定積分的結果 那麼離散情形下有沒有上述微分法則的類似物呢？...
請問此拉馬努金連分數公式如何證明？
第乙個問題，證明很長，需要的知識很多，就不搬運了。可以看Bruce C.Berndt,Ramanujan s Notebooks Part III,Springer 1991 第16章的相關證明。第二個問題，Bruce C.Berndt的觀點如下 很多傳記作家說，Ramanujan的公式是印度教的吉...
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時間拓荒者 考慮組合意義。從n個球選出若干球組成k個環，同時用剩餘的球組成乙個可空環，而為了消除可空我們可以新增乙個編號為n 1的球進去，那麼就有右邊的式子。我們從原來n個球中先組成m個環，然後從m個環裡選取k個環成為最終的環，其它的環按照順序組成乙個新的大環，這便是左邊的式子。不難發現兩種方法是等...