1樓：時間拓荒者
考慮組合意義。
從n個球選出若干球組成k個環，同時用剩餘的球組成乙個可空環，而為了消除可空我們可以新增乙個編號為n+1的球進去，那麼就有右邊的式子。
我們從原來n個球中先組成m個環，然後從m個環裡選取k個環成為最終的環，其它的環按照順序組成乙個新的大環，這便是左邊的式子。
不難發現兩種方法是等價的。
2樓：izlyforever
我們先定義 r 個圈 和點 n + 1 的合圈：
我們每次選擇這 r 個圈中的最小值最小的圈，然後把最小值放在最後面，再連起來，再把 n + 1 加進去構成圈。
例如：合圈為 (5, 3, 2, 8, 9, 7, 4, 10, 6, 12)
再定義包含破圈：先將圈以編號最大的節點作為第乙個節點，然後踢掉，再找到編號最小的節點，然後將這之前出現的節點按照原有的順序構成乙個圈。
例如：圈 (3, 8, 1, 5, 2, 4, 6, 11, 7)，先把它變成 (11, 7, 3, 8, 1, 5, 2, 4, 6)
然後就變成了圈(7, 3, 8, 1),(5,2), (4,6) 和節點 11
顯然可以證明這是乙個互逆的過程（建議自己 check 一下）
好了，對於每乙個 「n + 1 個物品變成 k + 1 個圈的方案」，看編號 n + 1 所在的圈，對那個圈進行破圈，就會等到乙個 「n 個物品變成 m 個圈的方案」（ )，但是注意到這 m 個圈中有 k 從未跟節點 n + 1 有見不得人的勾當0.0。
反之，對於每乙個 「n 個物品變成 m 個圈的方案」，選擇 k 個圈不動，其它的圈跟節點 n + 1做合圈操作即可。
因此就有了你提到的公式：
其中 為第一類斯特林(Stirling)數
合圈，破圈這兩個名詞是我瞎想瞎取的
Hongzy：斯特林數入門
經典組合問題
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