1樓：「已登出」
容斥原理的範疇化。
比如說，你考慮乙個有限集的集族。然後考慮對應的常值層還有Cech complex。對這個Cech complex取完整體截面再取尤拉數，就得到了容斥原理。
再或者說，比如你有兩個開集，對應的集合論操作裡，你實際上會忘掉集合論相交裡面元素的重數。但是如果你用Cech complex（在此時剛好是MV sequence），這個重數就可以被記下來。
對任意的層而言，在pass to direct limit of coverings之前，Cech complex是用常值層的Cech complex 與給定的層張量積得到，之後取整體截面並取cohomology就能得到相應的Cech cohomology. 所以它相當於給層一種容斥原理，並用來計算cohomology。
雖然可以用nerv還有單純集什麼的來解釋，不過我覺得多少還是這個想法的深化吧。
其實這種東西在層論裡很多，比如Kunneth formula其實可以當做二項式定理的範疇化。之前還用這個想法算過某個東西emm。
以上算是半口胡，主要是懶得打細節了。
2樓：Kenneth Ma
說乙個我知道的Cech上同調的乙個很有趣的小結論，它是從Mittag-Leffler問題開始的。
是乙個Riemann面，考慮 上的Mittag-Leffler問題，也就是給定乙個離散的點列 以及每個 上的Laurent級數的主部 ,那麼是否存在乙個亞純函式 ，使得它的所有奇點就是 ，且主部就是 上給定的那個。這個問題在區域性上是簡單的，因為在每個 的鄰域中給定的主部就是問題的解，但在全域性中這個問題可以匯出Cech上同調。
取 的乙個開覆蓋 ，使得每個 中至多還有乙個給定點 ，並且令 是 上滿足問題的亞純函式。在 上建立新的函式：
= 這裡 是 的全純函式環，顯然在 上有
此時如果在每個 上能夠找到乙個函式 使得
, 在上
這意味著函式 ，此時 在每個 上就是問題的解答。現在我們回到Cech上同調，注意到：
因此若 ，則每個閉鏈都是由 這樣的全純函式組成，於是Mittag-Leffler問題可解；反之，若 ，則存在閉鏈不是上邊緣，因而不能找到滿足 的，所以有結論：
Mittag-Leffler問題在 上可解。
層的上同調 匯出函子的幾何直觀是什麼？
Fibration 不知道你想要的幾何直觀是什麼意思？就是圖形上可以看出來那種？你說的洞，就是虧格 genus 很多時候，通常用上同調群來定義一些幾何物件的不變數。乙個重要的問題，就是這些定義出來的物件是不是雙有理不變的，這在雙有理幾何中，是最基本的問題。比如，對於n維 光滑射影 代數簇X，可以定義...
平面幾何用代數法解幾何的原理是什麼？
亮貓 原理就是，用不同的方法表示乙個量兩次，然後令相等即可。具體可以查 算兩次原理 得到恒等式的原因是，你採用的那兩種方法本質上是一種方法，由於幾何定理體系裡面有很多等價定理 如很多定理其實就是相似三角形定理的推論 所以這種情況時有發生。這個時候一般是考察已知條件還有沒有沒用上的，想辦法用上就可以了...
格林公式的幾何意義是什麼？
迅哥兒1399 不妨思考散度和旋度為啥起這個名字，它們的定義是否有脫離座標系而完全依賴於空間本身的形式。中科大常庚哲史濟懷的 數學分析教程 中的引入方式給出了兩種場操作的幾何意義 這裡指只依賴於空間本身而不涉及座標 可供參考。 林東 恭喜你發現了問題所在，你所觀察到的邊界和積分的關係實質上是兩個邊界...