1樓：光太郎
引經據典，一錘定音：在自然數的皮亞諾公理體系中，自然數的最小數原理能推出強歸納法(也叫第二歸納法), 但是推不出數學歸納法(也叫第一歸納法)。本文所述的數學歸納法單指第一歸納法，不包括第二歸納法。
許多前人的證明看似從最小數原理推出了數學歸納法，其實是引入了皮亞諾公理以外的隱含前提。這是不允許的。
第二歸納法的依據是最小數原理。而數學歸納法的依據是皮亞諾公理組中的第五公理，即歸納公理。皮亞諾公理一到四 + 歸納公理 最小數原理，但是皮亞諾公理一到四 + 最小數原理推不出歸納公理。
換句話說，在皮亞諾公理體系中，歸納公理嚴格強於最小數原理。
證明：通過構造皮亞諾公理一到四的不同構模型們的方式，引用一階邏輯的哥德爾完備性定理。關於證明過程詳情參考 [1] Are induction and well-ordering equivalent?
簡單地說，存在數學結構，它是最小數原理的模型，卻不是歸納公理的模型。
常見疑惑:
好奇寶寶：最小數原理是強歸納法的依據，而歸納公理是數學歸納法的依據，既然叫強歸納法，就是說最小數原理強於歸納公理？
邏輯先生：錯。強歸納法的強是指其歸納條款強於數學歸納法的歸納條款。
而歸納條款是歸納法的條件。我們知道，乙個全稱假言命題，條件增強，能滿足條件的例子就減少，命題整體就減弱。因此，強歸納法作為乙個命題整體，弱於數學歸納法。
好奇寶寶：我記得數理邏輯課上講，滿足強命題的模型少，滿足弱命題的模型多。可是你剛才說，滿足弱命題的例子少。模型多和例子少同時成立，似乎有矛盾？
邏輯先生：沒有矛盾。模型和例子是兩個不同的概念。
我們說，選一些不矛盾的命題作為公理，滿足公理的數學結構就是公理的模型。公理弱了，滿足公理的模型就多了。而例子指的是在乙個模型中，x取模型中哪些物件使得命題函項P（x）在這個模型中為真，每個這樣的取值就是乙個例子。
所以，對乙個弱命題而言，同時有模型多和例子少兩個特徵。一階邏輯的哥德爾完備性定理（不是哥德爾不完全性定理）了解一下。
好奇寶寶：好多概念比如數學歸納法、強歸納法、歸納公理、良序原理、良序定理什麼的挺繞人的，能理理嗎？
邏輯先生：好的。我們分個類:
(集合的)策梅羅良序定理: 每個集合都能被良序化。這個用ZFC公理集合論的選擇公理證明。
這個定理我們這裡用不到，因為自然數集裝備通常的構造性的《關係就已經是良序集了，不需要動用良序定理來殺雞用牛刀。良序定理也叫良序化原理。
(自然數結構的)良序原理: 裝備通常的小於關係的自然數集N是良序的。
(自然數結構的)最小數原理: 裝備通常的小於關係的自然數集N的每個非空子集都有最先(最小)元。乙個集合A的每個非空子集都有最先元正是A是良序集的條件。
所以最小數原理就是在說，N是良序的。
(自然數結構的)歸納公理 [2]: 就是皮亞諾公理組的第五條。也叫歸納原理。如果我們以ZFC公理集合論作為基礎，可以證明歸納公理，這時候歸納公理成為歸納定理。
(自然數結構的)數學歸納法和第二歸納法 [2-3]: 對特殊的良序集即自然數集N, 滿足歸納公理能用數學歸納法(也叫第一歸納法)。滿足最小數原理，能用第二歸納法(也叫強歸納法, 串值歸納法)。
(一般良序結構的)超限歸納法 [2-3]: 對任意乙個一般的良序集，滿足最小數原理，但未必滿足歸納公理，因而我們能對一般良序集使用超限歸納法，但多數情況下不能用數學歸納法。良序集的超限歸納法是自然數集的第二歸納法的推廣，相當於良序集的第二歸納法，如前所述我們沒有良序集上的第一歸納法。
(序數宇宙的)超限歸納法 [4]：所謂超限(transfinite)就是超越有限(finite)。如上所述，超限歸納法能夠對所有自然數做歸納(每個自然數都被集合論編碼成有限集), 能夠對一般良序集的所有元素做歸納。
超限歸納法還可以進一步推廣嗎？是的，考慮裝備良序關係《的所有序數（即序列0,1, ... , , ...
，其中非自然數的序數如 叫做超限序數，超限序數被編碼成無限集) 形成乙個整體叫做序數宇宙On。我們可以用超限歸納法對On的每個元素即所有序數做歸納。注意，On不是乙個集合，而是乙個真類。
如果On是乙個集合，那麼會推出布拉里福蒂悖論(最大序數悖論)即矛盾。數學家Gentzen在2023年用超限歸納法對序數類 做歸納，證明了Peano算術的一致性，是數理邏輯證明論的最高成就之一 [5]。（哥德爾不完全性定理說從Peano算術公理出發不能證明Peano算術的一致性，而Gentzen用的超限歸納法是對Peano算術公理的補充，所以由此證明Peano算術的一致性並不違反哥德爾不完全性定理）
總結:集合的良序定理=良序化原理=選擇公理
自然數集的良序原理=最小數原理=第二歸納法=強歸納法=串值歸納法，自然數集的第二歸納法可推廣為良序集的超限歸納法，自然數集是特殊的良序集
自然數集的歸納公理=歸納原理=歸納定理=數學歸納法=第一歸納法
處理流程：對任意乙個集合A(空集,有限集,無限集均可，一般針對不可數的無限集), 我們可首先引用良序定理保證A上存在良序定義使得A裝備該良序成為良序集。
既然A是良序集，那麼A滿足最小數原理。
既然A滿足最小數原理，那麼我們就能使用超限歸納法，證明與A相關的命題。
參考文獻:
[1] Wikipedia mathematical induction, are induction and well-ordering equivalent?；潘承洞初等數論最小數原理和數學歸納法不等價；
[2] 董延闓基礎集合論 3.2 3.8 5.3；
[3] 孫偉分析基礎 1.9 2.1；fudanset chapter7.6 良序集上的超限歸納法推廣為良基序集上的超限歸納法；
[4] 汪芳庭數學基礎 8.1；董延闓基礎集合論習題6.15關於序數的超限歸納原理；
[5] Wikipedia Peano axioms；超濾空間回答哥德爾不完備定理動搖了數學的基礎嗎？；https://www.
purdue.edu/~price79/OrdinalNumbers.pdf；無窮遠方劍星的古德斯坦定理 \epsilon0是可數集仍然是很小的乙個極限序數；超限序數transfinite ordinal 不要混淆於極限序數 limit ordinal.
極限序數一定是超限序數，如\omega, \epsilon_0，反之不然；
其他:https://
2樓：紮鐵了
可以，最小數原理和歸納公理等價。從邏輯上看這個問題，最小數原理證明歸納公理，再由歸納公理證明數學歸納法。
多人看我就補證明。
3樓：[已重置]
在下只負責記錄數學歸納法等價於良序原理的證明……
（注：約定自然數集包含。）
數學歸納法：給定某條以自然數為變元的性質，及自然數的某個子集，若以下兩條件成立：
1.；2.，
則有。良序原理：設，則，使得。換言之，自然數的任意非空子集必有最小元。
等價性證明：
一、數學歸納法蘊含良序原理——
令為以下陳述「自然數的任意子集，若包含某一自然數，則必包含乙個最小元」。考慮集合，容易看出【因為是自然數集的最小元（見上註）】，條件1滿足。
現歸納地假設包含至，則只需證明亦包含。令且包含某一：(i)若不包含，則是的最小元；(ii)若包含某個，則【因為使得】，而這正是歸納假設成立的情形。條件2滿足。
至此，數學歸納法完成，良序原理得證。
二、良序原理蘊含數學歸納法——
令滿足：1.；2.
，並假定補集。則根據良序原理，，使得。由於，故，因此。
根據皮亞諾公理，使得【對於非自然數必然存在某自然數使得為的後繼】，這意味著。據此可以斷定【否則，這表明「為的最小元」與「」這兩件事不能相容】。然而，由於滿足性質，等價於——這立刻就與「」一事衝突。
因此，補集，這就意味著。
等價性證畢。
4樓：yuyu
良序集自動服從強歸納原理
但問題是證明自然數是良序的，要用到Peano公理，所以不能再用自然數是良序的來證明數學歸納法，這樣是迴圈論證。
5樓：
要是你用集論去定義自然數，最常用的定義是：
小於最小非0極限序數的序數。
因為序數上的小於定義為屬於，序數上的屬於關係的良序性也是容易通過序數定義證明的，這樣子再推出數學歸納法，是正確的。
但是皮亞諾的公理化描述，說的可不是集合論裡定義的自然數（至少沒有形式上的直接關係）。這些小於關係的性質，都是沒有的！你要麼增加一條公理，說明皮亞諾算術裡定義的小於關係是個良序關係，以此推出數學歸納法；要麼增加一條數學歸納法的公理模式，以此也可推出小於關係是個良序關係。
第一數學歸納法和第二數學歸納法如何互證？
鄢振宇 南京大學 看了一下大家的回答，感覺似乎存在不小的問題，於是決定回答一發。先說結論，第一類數學歸納法和第二類數學歸納法等價，並且都等價於良序原理 良序原理和良序公理不同，前者僅保證自然數集的良序性 所以，其實可以通過 確實也有答主是這麼回答的 但是，我覺得這不是題主想要的回答，於是就寫了這篇回...
由數學歸納法想到的問題？
偶然看見了，寫一下Peano公理好了。Peano公理定義了啥是自然數 當然我們偉大的人民教育出版社重新定義了一下，說0是自然數，雖然0很不自然 1 1是自然數 存在性 2 任何自然數都有其後繼 其實是定義了數數，1,2,3,4,5,直覺上我們就是這樣一直數下去的 然而後面三條都在定義，什麼叫 數下去...
這樣的數學歸納法是否成立？
Grothendieck宇宙 你把第一條形式化 任意 總存在乙個N 0,使得任何乙個大於N的整數n，有p n 你看我就編不下去了。命題的真值是離散二值的，沒辦法 有的回答說可以引入拓撲，這沒毛病。 標準分析跟非標準分析對自然數的認識深度是不一樣的，標準分析的自然數是建立在無限大的空間裡用歸納法進行構...