1樓：呵呵呵
2樓：Trebor
不可能。
考慮乙個自然數的模型 ，其中 表示「+1」。它滿足自然數的所有公理，除了數學歸納法。但是我們可以提出乙個簡單的命題：
，它在標準自然數中成立，但是在這個模型中不成立。因此這個命題一定需要數學歸納法證明。
也就是說，我們甚至不可以證明 。
3樓：帶帶大基數
cut(induction)-elimination ：我覺得我可以
全稱量詞：我覺得不行
// remark: 即使對於quantifier free的PA formula，想真的把Ind拆成一堆一步步的implication，其良序性都不是 以下的歸納法能保證的。你理論內拆掉幾個歸納步，理論外幾個 就指數級的翻上來。
（別看你今天拆的歡……）
4樓：鍵山怜奈
必須不是……
為了舉乙個簡單的例子，首先規定一下我們使用的自然數理論包含常數符號 ，自然數上的後繼運算符號以及一系列函式 ，表示序關係的謂詞 ，……
其中 符號代表函式的乙個變元。特別地，在不引起誤解的情況下允許將 記為 ，允許將 記為 ，……
公理集：
(1) ，如果兩個自然數的後繼相同則它們相同
(2) ，不存在乙個自然數的後繼是0
(3)對任意公式 ， ，數學歸納法，對於不熟悉的人來說可能比較難讀，實際上就是一般意義下的數學歸納法，如果性質 對0成立，並且假設對n成立能推出對n+1成立，那麼 對任意自然數成立。
(4)(5) ，與上一公理合稱加法公理
公理3是由無數條公理組成的，稱為公理模式。所謂公式，就是具有數學意義的句子，例如 是乙個雙變元公式， 是乙個單變元公式（例子隨便舉的），那麼對於任意乙個單變元公式，都有一條對應的歸納公理，例如對於後者，它所對應的歸納公理是
此外，稱零變元公式為命題。注意到公理都是命題。
定義到此為止。
接下來考慮乙個簡單的命題， ，我們首先用數學歸納法證明它
The detail is left to the reader as an exercise.
接下來我們要證明不用數學歸納法無法證明它。如果從定義出發，我們需要證明的是任意不使用數學歸納法的證明無法證出 ，但這是乙個非常困難的工作。好在可以投機取巧，相信可證真的命題總是真命題：
那麼我們就可以找出一種反例情況 ，使得它與自然數的唯一區別在於它不滿足數學歸納法，並且此時 不成立。因為不使用數學歸納法的證明在 上也是有效的，所以如果某個不借助數學歸納法的證明證明了 為真，那麼 理應在 上也為真。
我們考慮這樣的乙個集合： ，其中 只是乙個符號，我們可以不考慮它的實際含義。我們定義其上的線序，使得這些元素由小到大排列可以寫作：
同時，規定
此時可以驗證，這個集合 上，除了數學歸納法以外的每一條自然數公理都是成立的。但是， .從而說明了 不用數學歸納法無法證明。
Detail left as exercise.
這樣的數學歸納法是否成立？
Grothendieck宇宙 你把第一條形式化 任意 總存在乙個N 0,使得任何乙個大於N的整數n，有p n 你看我就編不下去了。命題的真值是離散二值的，沒辦法 有的回答說可以引入拓撲，這沒毛病。 標準分析跟非標準分析對自然數的認識深度是不一樣的，標準分析的自然數是建立在無限大的空間裡用歸納法進行構...
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