1樓：
把簡單問題說複雜了，第二步說錯了，不是「假設n=任意自然數m」，是「假設n=某個自然數m」，最終證明的結果才是「假設n=任意自然數m」
第一步裡面已經證明了n=1，而1是「某個自然數」，所以第二步的假設已經成立了，因此證明了n=2，於是「某個自然數」也可以是2，以此類推
2樓：雅漪
題主的疑問遠沒有達到皮亞諾公理的深度。
題主純粹只是邏輯理解能力太差而已，有空大言不慚地質疑數學歸納法，不如試著虛心地去學習理解。
第二步的假設（如果n=m命題成立），事實是確實有可能假設不成立（為什麼我們遇到的要證明的命題卻恰好都假設成立呢？因為出題人沒有無聊到出個「錯題」讓你來證明）。
如果假設確實不能成立（出題人給出的命題就是假命題），你是不可能推導出n=m+1命題繼續成立的。
不信，無聊的題主可以自己出個錯題試試推導看看。
3樓：ashnoir
第二步的假設僅僅是為了證明蘊含關係成立（第二步的目的）。證明過程就是假定前提為真，推得結論為真。證明出來的結果只是蘊含關係為真，跟前提或結論的真值無關。
對p→q為真的正式證明有三種方法：
證明p永遠為假（邏輯學規定，如果前提為假，蘊含關係為真。一般來說前提不永遠為假，此處也不永遠為假）；
證明q永遠為真（同上。此外如果1或2的情況成立，蘊含關係沒有實際意義）；
證明若p為真，則q為真。（這就是歸納法第二步裡用的方法。假定p為真，經過一系列推導得到q為真，蘊含關係成立。注意了這裡跟pq的真假沒有半點關係，只是告訴我們若p為真，q不可能為假）
題外話，反之證明p→q不成立，只需要舉出反例：對某元素來說，p為真而q為假。*注意：並非p永遠為真，q永遠為假，只要舉出乙個反例就行，因為蘊含關係預設對全體元素成立
回到題主的問題，蘊含為真不代表結論為真，第二步的結果只是創造了乙個邏輯通道，把前提為真（第一步的結果）輸進去，整個題目的證明才算完成。
當初自學邏輯的時候我有一樣的疑問，但現在已經解決。邏輯有它自身的規則，有演變的歷史，和直覺不一定無縫銜接。我認為題主提的問題是因為對證明的流程不熟悉。
如果邏輯學基礎紮實，這樣的疑問應該不會出現。
4樓：Runner
我不從「科學」的角度去說數學歸納法嚴謹不嚴謹，因為在我眼中數學歸納法其實是一種哲學上的觀點，一種運動變化的觀點，這種觀點被運用到數學中就是數學歸納法。
5樓：三五六七
歸納法的條件可以拆解為如下
(1) A 為真
(2) B ->C 為真
則最終結論為真
歸納法假設的是B為真值，需要證明當B為真值時B -> C也是真值
然後結合1與2都成立，得出結論為真的結果
你似乎是認為歸納法直接假設了B -> C 為真，這是不正確的，假設為真的只有B，然後用B去證明C舉個多公尺諾骨牌的例子
第一塊倒下了，並撞倒了第二塊
如骨牌列中第n塊倒下了（n為自然數且大於等於1），則第n+1塊必定倒下
在第二條中，我們假設的是「第n塊骨牌倒下」，然後需要通過數學（或者物理）來證明第n+1塊會倒下，才算是完整證明了第二條為真
此處的第二條不是乙個單純的「如果A為真則B為真」的條件宣告，而是乙個必須存在數學邏輯上可證的條件宣告，因此在問題中你說「今天週三則結論正確」這個宣告本身必須是在數學意義上可證的（「如果今天是週三，則明天是周四」就是可證且有效的，而「如果地球是方的，則今天是晴天」是不可證且無效的，因為後者不存在乙個數學上邏輯關係（畢竟是數學歸納法））
第二你說的如果假設不成立，則結論不成立，是錯誤的，因為歸納法其實就是在說「在1和2兩個條件全部成立的情況下，則結論成立」，1和2成立是結論成立的充分條件，但結論成立在歸納法中不一定是前兩者的充分條件，所以假設1和2不成立，則不知道結論成立與否（建議去看看一階邏輯謂詞演算）
最後你似乎是覺得證明的基礎建立在乙個假設上是一件很不靠譜的事情？但是反證法也是運用假設啊，只是假設的東西不一樣
無法評判反證法是不是比歸納法強力，但是我很確定有些問題只能用歸納法，有些問題只能用反證法，各有千秋
6樓：
數學歸納法
1。p1成立，
2。pk成立蘊含p（k+1）成立
1和2成立，蘊含任何n，pn成立。
其中第二步是要你去證明的。就像你說p1成立是需要驗證的一樣。
第一步n=1時，你驗證p1成立；
第二步n=k時，你證明p（k+1）成立。
其中2是演繹邏輯，演繹只能保證蘊含關係成立，不保證現實為真，即理性主義。
而第一步驗證，是經驗主義，經驗主義，相當於是小前提，第二步是大前提，結論是三段論給出的。
數學歸納法，應該叫數學歸演法。
因為第二步是蘊含，即命題邏輯，
第一步是小前提，第二步是被演繹證明的大前提，通過多次三段論的結果，完全歸納出了結論！
7樓：
數學歸納法是個公理，而不是定理。
如果以皮亞諾公理定義自然數的話，那麼在定義中就已經包含了數學歸納法。
在其他定義自然數公理體系中，不一定有數學歸納法。
8樓：
歸納步驟要求證明:
對於*任意*自然數n，*如果*P(n)成立，那麼P(n+1)也成立。
仔細考慮一下「任意」和「如果」這兩個詞。
整個歸納法完成後，任給乙個自然數k，我都可以由｛P(0)為真｝和｛對於任意乙個自然數n，如果P(n)成立，那麼P(n+1)成立立｝，將後者(即歸納步驟)的n取為0，推出P(1)成立，再由｛P(1)成立｝，和將歸納步驟中的n取為1，推出P(2)成立……這樣一直推出P(k)成立。
注意基礎步驟和歸納步驟，特別是上面強調過的「任意」和「如果」，是如何在整個過程中起作用的。
當你理解了它，你就會覺得它的正確性是那樣的顯然，而它又是如此基本，所以我們可以將它取為公理。……
9樓：Xi Yang
那麼，如果第二步假設不成立呢？整個結論是不是就不成立了？
是的。本來就是這樣的啊，這有什麼值得奇怪的？
我猜你大概是奇怪：「為什麼我在教課書上看到的那些使用了數學歸納法的東西，第二步假設全都成立？」
因為你是在看教科書啊！！！！！人家寫的就是已經證明了的定理的推導過程。這和問「為什麼隕石總是掉到坑里」有什麼區別？？
另外，反證法是不是比歸納法要強有力？至少反正法是假設它是錯的然後推出矛盾從而證明結論是對的。
數學歸納法已經在有限域上保證了整個鏈的正確性，堵住了你舉出反例的任何途徑。說白了，這些證明方式是等價的，並不會說乙個比另乙個更有效力。
至於為什麼這個定理用歸納法，那個定理用反證法，這是因為這樣恰好方便證明，或者方便理解。
10樓：劉天任
我完全同意 @羅心澄 的答案。我的這個答案實際上是偏題的，只是補充了乙個不涉及序關係的數學歸納法證明。
要證明的命題——數學歸納法——是：
對任意關於自然數的性質 P，若 a) P(0) 成立，b) 對任意自然數 n, P(n) => P(n+1)，則對任意自然數 n, P(n) 成立。
首先自然是要定義自然數。自然數被定義為所有歸納集的交。所以要先定義歸納集：
集合 Ω 是歸納集當且僅當 a) {}∈Ω，b) S∈Ω S∪∈Ω。
歸納集的存在性由無窮公理保證。
然後自然數集是所有歸納集的交，記為 ，不難證明也是乙個歸納集。
自然數集中的元素是etc。
為簡化記號，自然數集中的元素 {} 用記號 0 表示，} 用記號 1 表示用記號 2 表示，etc。同時 S∪ 被稱作 S 的後繼，對應自然數中加一的概念。同樣為了簡化記號，用 S+1 表示 S∪。
使用簡化記號後，集合 Ω 是歸納集當且僅當 a) 0∈Ω，b) n∈Ω n+1∈Ω。
定義好了自然數集，證明歸納法就很容易了。假設自然數上的性質 P 滿足：
1) P(0) 成立
2) 對任意 n∈, P(n) => P(n+1)
不妨定義集合 Σ 為所有滿足 P 的自然數，即 Σ = 。（Σ 的存在性依賴分離公理）
不難證明 Σ 也是歸納集。因為是所有歸納集之交，所以是 Σ 的子集。同時由定義，Σ 是的子集。這樣可以證明和 Σ 就是同乙個集合。這說明性質 P 被所有自然數滿足。
11樓：公子歷
事實上數學歸納法不是不嚴謹，而是不直觀，它的證明不能揭示定理間的聯絡，只能告訴你什麼是對的，所以通常意義下，最好能自己用別的方法證一下，加深印象
12樓：HOOCCOOH
（此回答僅供幫助理解，可能有些不夠數學）
在知道皮亞諾公理前，我自己的理解是，數學歸納法可以構造乙個證明生成器，然後證明「給它輸入自然數n，它一定能輸出 的合法證明，然後停機」。
這個機器可以這麼輸出：
《你手寫的 的證明》...1
《你手寫的的證明》...2
∵由1得，成立，
由2得， 成立，……， 成立 （此處迴圈輸出，共n條）∴ 成立。證畢
對於不同的n，得到的證明是不同的（長度和n有關），但單獨看每個證明都是有限且合法的。
有了這個生成器，我們就可以做到「對於給定的n，總能寫出合法的證明」（證明存在，但不必實實在在寫出來）。
既然一定存在證明，原命題當然就為真了。
13樓：寶幫
光看第二步當然是可以推翻的，
但是不要看第一步的工作很簡單，其實它才是必不可少的基礎。
把第二步的n取為第一步已證的1、2……或其他。則任意n+1都滿足結論...
題主可以好好理解一下多公尺諾骨牌的比喻，
在數學歸納法中，第一步證明某一具體的牌會倒下，第二步證明，某塊牌倒下後面的牌一定倒下
所以，某具體的牌後所有的牌都會倒下。
題主對數學的思考是很有益的，但如果對整個過程整體把握理解起來會更簡單。
對每個概念都思考一番並且理解的話，我們會愈加發現數學邏輯之美。加油!
14樓：frog
1.首先要把「前提對」和「推理對」分開來看，推理的對錯與前提的對錯毫無關係，前提錯了推理也可能是對的，比如我由「馬有六條腿」和「馬腿和牛腿一樣多」這兩個前提推出牛有六條腿，雖然第乙個前提錯了，但是這個推理卻是對的。
因此數學歸納法的第二步和你舉的「假設今天週三，則結論成立」那個例子不一樣。數學歸納法的第二步在幹什麼？拿個具體的例子來說，它是在證明由前提「1+2+……+n=n(n+1)/2」推出結論「1+2+……+(n+1)=(n+1)(n+2)/2」這步推理是對的，至於前提「1+2+……+n=n(n+1)/2」對不對，數學歸納法的第二步是不管的，它只是說，無論關於n的命題對不對，由它推出關於n+1的命題的這步推理是對的。
而由前提「今天週三」推出「結論成立」這樣的推理一定是不對的，所以它和數學歸納法的第二步幹的事情並不一樣。
2.數學歸納法的第一步保證了關於1的命題是對的，第二步保證由n推出n+1的推理是對的，那麼為什麼這兩步就說明了命題對於所有自然數來說都是對的呢？是這樣，你現在知道關於1的命題是對的，用一下數學歸納法的第二步(取n=1)，就可以知道關於2的命題是對的。
然後你再用一下數學歸納法的第二步(取n=2)，就可以知道關於3的命題是對的。這樣下去，不管是哪個自然數，你不停地用數學歸納法的第二步，總可以說明關於它的命題是對的，因此命題對所有自然數都是對的。
3.反對扯皮亞諾公理的，題主是邏輯過程沒有搞清楚，不是在質疑自然數的結構。更反對那個扯數理邏輯的，我可以理解你對這個樸素的用更高的觀點看並不嚴謹的數學歸納法表述的不滿，但是人總是要先熟悉乙個便於理解的樸素的版本以後，才能夠進行更進一步的思考，而不能一開始就從乙個邏輯上最基礎的東西學起。
另外，題主問題標題裡的那個「科學」，其實就是嚴謹的意思，並不是「數學不是科學」這句話裡面科學的意思，如果覺得它很重要，可以另起一文，而不應該把它放在這個問題下面，「數學不是科學」不是這個問題的重點。
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