非標準的自然數模型數學歸納法成立嗎？

1樓：

數學歸納法到二階邏輯公理系統就開始出現不成立現象，排中律等在二階邏輯公理系統裡不能亂用，二階邏輯公理系統是由我之前給出的一條反外延公理（如果兩個非空集合含有同樣的元素，則它倆的交集為空集）推導出來的。二階邏輯公理系統：1、反外延公理；2、一階邏輯公理系統。

二階邏輯公理系統告訴我們對於任意的兩個一階邏輯公理系統，它們的交集都為空集，因此得到在二階邏輯公理系統裡N跟N的交集為空集。如果現在一條二階邏輯公理系統的直線從A（一階邏輯公理系統）穿到B（一階邏輯公理系統）會出現什麼情況呢？直線上N的排列還滿足一階邏輯公理系統的歸納法嗎？

顯然只考慮A或B是滿足歸納法的，但是如果同時考慮A、B系統，顯然不滿足歸納法，檢驗方法就是排中律，你會發現竟然有些整數不在A、B系統裡面，這類整數跟第二類極限思想有關係，第二類極限思想說的是A、B系統空間之間存在著極限邊界，如果是一條直線穿過A、B系統，則直線會穿過極限邊界與極限邊界存在乙個極限邊界點，極限邊界點兩側的整數都不在A、B系統裡面，就是把這些整數包含進來，排中律還是會發現存在未知整數，它們存在於無限與極限之間，這類未知的整數只有處理好了才能使歸納法成立，我是認為這些導致歸納法成立的未知整數是不存在的（三階邏輯公理系統歸納法不成立）。你說的高階邏輯系統會發生很多匪夷所思的事情，我是認為這很大程度上跟反外延公理有直接關係。

2樓：非木

得看你說的「數學歸納法」具體指什麼。如果你的意思是一般意義上的「二階歸納公理」，也就是皮亞諾和戴德金用來刻畫的二階公式，那麼它顯然不在任何非標準模型中成立，因為後者的定義就是滿足卻不與同構的結構（光可數的就有個），而前者加上皮亞諾給出的剩下四條公理（都是的顯然推論）在同構的意義上只有乙個模型。

就算我們只考慮一階公式，所謂的「一階皮亞諾算數（）」其實也挺強的，能夠證明大部分我們感興趣的初等數論命題。除了尋常的運算（、）、常數（0、1）和序（<）公理之外，還包含如下的（一般）歸納模式（scheme）：假設是一條以算數語言寫成的公式，那麼其在上的歸納公理——記作 ——為：。

如果你認可這條歸納模式也算是「歸納法」的一種合理的形式化，那麼它確實在非標準模型中成立，而且它本身沒有什麼令人匪夷所思的結果。非標準模型的怪異主要源於哪些「應該成立」的高階命題在其中不成立而不是反過來。

上述歸納模式在一階算數中有三個很有用的等價版本，你之後在提起「數學歸納法」的時候也可以想想它們（的定義相同）：

以下的歸納：；

最小數原則（least number principle）：；

全歸納原則（principle of total induction）：。

有趣的小知識：[1]

由於中的歸納是由乙個公理模式給出的，它並不像皮亞諾和戴德金的二階公理一樣能夠用單獨的一句話講清楚。（事實上並不能被有窮地公理化。）不過的公理集確實是遞迴的。

作為哥德爾不完備定理的推論，並不完備。它有個完備擴張，只是其中之一。

3樓：Yuz.Scarlet

數學歸納法有一階和二階的不同版本，一階說的是對於任意乙個公式，如果存在使得成立的，那麼存在使得成立的最小；二階說的是對於任意乙個自然數的子集，如果非空，那麼有最小元。區別就是一階要求必須是形如的集合。

非標準自然數模型也叫自然數模型的初等等價模型，所有在自然數上成立的一階命題都在費標準自然數模型上成立，這裡面也就包括一階的數學歸納法。但是非標準自然數模型不滿足二階的數學歸納法，比如說所有的非標準元構成的集合就沒有最小元。

匪夷所思的結果說明的就是如果乙個一階理論有無窮的模型，那麼它就有任意大小的模型。

非標準的自然數模型數學歸納法成立嗎？

標準自然數模型能否在omega邏輯中公理化？

如何理解自然數是無限的，但是每個自然數是有限的？

如何證明自然數的個數少於實數

其他用戶還看了：