1樓：ZS Chen
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本身就可以做到. 首先定義
定義. 令為如下理論: 語言是, 公理為正常的公理, 則為公理在經典一階邏輯推導規則下的閉包, 並且對如下推導規則進行閉包: .
這個額外的規則就是我們所說的"-rule": 如果對乙個命題, 我們能證明, , ..., 那麼我們就能證明.
在這個定義下, 我們有
定理. .
證明: 這一步是比較簡單的, 主要因為是並且滿足-rule.
反過來, 我們想要證明. 由於, 我們只需要證明是完備的即可. 所以我們通過對句子複雜度歸納來證明: 對於任意語句, 要麼, 要麼.
Base case需要證明這個命題對原子公式成立, 這裡略過, 因為這是PA的乙個基本性質, 證明起來比較麻煩, 在教授哥德爾不完備定理的課本都有.
和的case很簡單, 留作練習.
所以對-rule閉包的PA就是, 而它的公理就是PA公理. 其實論證並沒有用到PA什麼特別的性質; 如果我們對Robinson算數Q也作同樣的事情, 我們也可以證明.
類似的證明能在Torkel Franzen的"Transfinite Progressions: A Second look at ompleteness"裡找到, 他那裡系統性地證明了關於-rule更一般且更強的結果.
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