1樓：反射序數
自然數這東西理論上無法定義，你只能去相信它存在。
相信它存在之後，你還需要去相信它的一些性質。PA就是其性質的一部分。
乙個模型由乙個集合，一些常量，一些函式，一些關係構成。在PA的模型的定義裡，首先會指出，這個模型必須有乙個特定的滿足之後某些要求的常量。至於這個常量叫什麼名字，只需根據方便來就好了。
於是就給它起了0這個名字。
2樓：「已登出」
注意，有些概念是原始概念。
在人類認識過程中，總有一些概念是原始的或約定俗成的，所謂原始概念就是人們已經約定俗成的，認為不需要解釋的，用來解釋其它概念的概念，這些概念是沒有嚴格意義上的概念的，只能用一些形象化的語言來解釋。
這裡的0是原始概念，還有增加（後繼）也是原始概念，它們不能被更原始的概念定義。
3樓：復溪怡
上面回答寫得太複雜了，好一些還是答非所問。
其實是這樣的，先宣告存在乙個集合，給這個集合命名「自然數集」（你也可以叫他玫瑰花集或飛鳥集，其實名字無所謂）
然後存在乙個東西，叫做0（你也可以叫他橘子，蘋果或者隨便什麼），這個東西在那個集合裡，然後我們給任何乙個屬於這個集合的元素乙個統一的名字——自然數（或者玫瑰花或夜鶯或者隨便什麼）。
其實問題就在於原文表述不明。
4樓：執悲今厄
自然數。
與不能推導的公理一樣，有一些概念是不能定義的。
比如零。
集合論雖然定義了零，但又引入了另乙個不可定義的概念：物件。
如果你說它的定義是滿足三性質的存在的話，那麼，『存在』的定義是什麼？
5樓：有丘直方
Peano 公理實際上定義的是乙個三元組 。建議看一下 Dedekind-Peano 結構的定義。
反對題主提出的觀點
我認為數學上，「定義」這個行為需遵循的原則是：只能用已定義的概念去定義未定義的概念。
因為遞迴式的定義是被允許的。典型的例子就是 Peano 公理體系中對於加法的定義。
6樓：
其實不能說完全沒有已知概念。比如0是自然數這個操作，是不是就預設了集合的概念已被定義？因此我們實際上是在給自然數集合下定義，這樣一來就如同我們構造任何乙個集合所需要幹的事情一樣，比如我想定義水果集合，我可能要說蘋果是水果blabla.....
而假定你不知道蘋果這個名詞，又或者我可以把蘋果用乙個稀奇古怪的符號代替，這樣你就能看出我們給集合填充元素沒必要對每個元素都事先做出定義，或者你可以理解這些符號的樣式就是他們的定義（這種存在形式已經給了他們自我定義）。而因為大多數時候我們都是在皮亞諾公理體系上工作的，所以我們構造整數集啊偶數集啊等等都離不開已有定義，實際上這種定義可以理解為擴充構造。
這樣你就能理解皮亞諾公理一實際上就是告訴你，自然數這個集合有個元素「零」，僅此而已，當然這對於自然數的描摹還不夠，因此後面還有四條公理就是為了構造盡可能符合我們需求的「自然數」，這也是構造法思想所在吧。
7樓：
皮亞諾公理有五條，它們的作用，說是定義自然數似乎並不準確，只是給出自然數的一些性質，數學上很多時候並不關心乙個東西到底是什麼，而是關心這些東西的性質。
其中一條是「0是自然數」。0是什麼？皮亞諾公理並不關心這個。真正定義了0的理論，我只知道乙個，就是集合論，它定義0是「空集」。
如果接著再問空集是什麼，好像就扯遠了。簡單說一句，集合論也不關心空集是什麼，只關心空集的性質：不管什麼東西，都不「屬於」空集。
皮亞諾公理不關心0是什麼，只給出了0的乙個性質：0不是任何元素的後繼，再加上任何自然數都有後繼。
總之強調，很多時候，乙個東西「是什麼」，往往不重要，重要的是「東西」之間的關係，是性質。
8樓：哲學為何p開頭
1、如 A is a natural number 若 A 是自然數？
2、如 0 is a natural number 若 O 是自然數？
這兩個翻譯都錯 !
3、先說， 本 A = One，非，本 O = O 別的什麼都不 Not 是！
4、再說，末 a 先 1 數，非， o 是 o 別的什麼都不 not 是！
5、而應該，a 先 1 數 n 後 2 自然數；
6、或者全面說：先1數 > 中間 o < 後 23456789 是自然數！
9樓：
這句話的英文版如下
0 is a natural number.
中文的"是"在"0是自然數"裡理解為"屬於"
10樓：「已登出」
定義的是自然數，並且沒有迴圈定義
不過順便說一句，「用已定義的概念定義未定義的概念」這句話不完全正確，集合是乙個不定義的概念。
實際上定義的不是平時說的0，而是說存在乙個元素，我們姑且把它記為0，這個元素滿足一些性質。
羅素的《數學哲學導論》，在講自然數串時說皮亞諾的「數」是所有自然數所構成的類。請問這類裡面都是什麼？
Chen George 沒什麼深奧的，原文是 By number he means in this connection,the class of the natural numbers.class 類，也即集合，同人類的類。皮亞諾雖然沒有列舉所有數類的成員，但他描述了什麼樣的元素屬於數類。同理，你...
如何理解自然數是無限的，但是每個自然數是有限的？
陳斌 兩種意思都可以說服自己,僅僅直覺就可以感受到.所以詭異在於邏輯推斷上.一方面很容易發覺自然數沒有最大的,另一方面每個自然數又是確定大小的.如果是有限集,且每個元素確定大小,可以推斷出這個集合有最大值.但這樣的推斷不適用於無限集.有限對於單體而言,無限對於整體的描述. xiehonglai 從自...
皮亞諾公理的第二條所說的後繼數有確切定義嗎？
為了保證推理能最大限度避開直觀干擾，幾何學中的點 線 面的名詞可以換成杯子 椅子 桌子，這些名詞本身指什麼不重要，只要符合同樣的公理，也應該得到同樣的定理。後繼當然可以解釋為 1.不過，如果你願意，也可以把負整數視為自然數，那麼後繼就成了 1.一般把自然數建立在集合論的基礎上，空集解釋為0，解釋為1...