如何證明完全集的基數是連續基數呢？

1樓：

本人純新手，看到周民強實變函式解體指南有道題用到，來搜，搜不到遂試著自己證，不知道對不對，僅供參考。這裡是在實數域（

由於完全集屬於實數集，所以基數小於等於c，下面證反號即可。

完全集中每個點都是集合的極限點，那麼我們隨意找乙個點列A，就可以找到可數個點，這可數個點每個都又是極限點，所以每個又對應了乙個可數的趨於它的點列Bi，由極限定義可以證明不同B_i之間必有可數個元素互不相同（相同的元素是有限的），然後按照這個思路一直找下去，可以找到可數的可數次方個點。所以完全集中至少有可數的可數次方個點，大於等於2的可數次方，所以完全集基數大於等於c。

故命題得證。

2樓：留白零壹

完全集的定義：若由某集合的一切極限點組成的集合恰好是該集合本身，則稱該集合為完全集。

證明如下：

設完全集F為[0,1]的子集，且0,1∈1

設F的內=Φ

顯然F是閉集，則[0,1]-F為開集

==>[0,1]-F=U（a（k）,b(k)）,

且（a（k），b（k））∩（a(l）,b(l))=Φ,k≠l

由於F的內=Φ和F完全集==>有無窮個區間（a(k),b(k)）

用構造Cantor集的原理證明:CardF=連續基數。

[0,1]-(a(1),b(1))=兩個不相交的閉區間的並=

=F(0)∪F(1)=I(1)

F完全集==>有(a(k),b(k))在F(0)中,(a(l),b(l))在F(1)中。

取最小這樣的數k,l,其中k,l中有1個=2

F(0)-(a(k),b(k))=兩個不相交的閉區間的並=

F(0,0)∪F(0,1),

F(1)-(a(l),b(l))=兩個不相交的閉區間的並=

F(1,0)∪F(1,1)。

F(0,0)∪F(0,1)∪F(1,0)∪F(1,1)=I(2)

用上面的方法構造得:

I(k)=∪(F(c(k,s)),

其中c(k,s)=(d1,d2,。。,dk),di=0,1。

而且F=∩I(k)

根據前面的結論得:任意x∈F,對於任意k

x∈F(c(k,s)),c(k,s)=(d1,d2,。。,dk),di=0,1

和x∈F(c(k+1,t)),c(k+1,t)=(d1',d2',。。,dk',d(k+1)'),

其中di=di',k≥i≥1,所以

x對應乙個數列(d1,d2,。。,dk,。。),di=0,1。

反之任意個數列(d1,d2,。。,dk,。。),di=0,1。

取c(k,sk)=(d1,d2,。。,dk),

由於∩F(c(k,sk))不空(閉且遞減),而

F的內=Φ

==>∩F(c(k,sk))=

==>cardF=card=連續基數。

如何證明完全集的基數是連續基數呢？

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