1樓：玖梅
樓上都說的差不多了我就補充點具體的從下往上理解的一些思路吧，以可測基數為例：
0.1.2.3.4.5.6.
2樓：Ember Edison
隱藏著無限力量的鑰匙啊，請你在我面前顯示你真正的力量，與你定下約定的Kyubey命令你，封印解除
我在這裡補充一下正則公理V=WF和Reinhardt cardinal的詳細的對立情況。
這裡僅做乙個閱讀索引。
2020/12/13: 更進一步的解讀。
在本簡述中：
V代表全體合法集合宇宙。
WF, WF()代表以空集為起點的Von neumann層級宇宙。
At代表非空集的集合論起始原子（是欽定進去的！）。本文提到的原子全都是非良基的Quine原子，形如x = .At有可能只是乙個集合，也有可能是真類。
WF(At), 代表以各種非良集原子為起點的Von neumann層級宇宙。
V=WF 代表正則公理。
初等嵌入j:V→V稱之為宇宙自嵌入。如果j是非平凡的，即為非平凡宇宙自嵌入。
滿足 的雙射j:V→V稱之為宇宙自同構。如果j是非平凡的，即為非平凡宇宙自同構。
Reinhardt cardinal的定義是存在非平凡初等嵌入j:V→V的嵌入點。
此處的Kunen不一致特指，不存在非平凡初等嵌入，不存在 - 非平凡初等嵌入，不存在 - 初等共尾嵌入V→V。
這裡引用的各個文獻所用符號可能有所不同。
能展現非平凡初等嵌入的集合論必須要有二階謂詞 j。 [1]
大多數情況下要用全域性選擇公理GC而不是AC。[1]
但對於非平凡初等嵌入如此強大的存在，ZFC/GBC實際上無法將其完整形式化。實際上，GB缺乏足夠的能力去表現「j是初等的」。因此在ZFC/GBC大多數情況都只是在證明「存在 - 宇宙自嵌入」。
總體而言對於非良基集合論可以分為以下情況：
不存在任何宇宙自嵌入和自同構
如果至少有兩個At原子，那麼有非平凡宇宙自同構但是沒有其他非平凡宇宙自嵌入
沒有非平凡宇宙自同構但是有非平凡宇宙自嵌入
如果有真類個At那麼有非平凡宇宙自同構，並且有在「自同構」之外的非平凡宇宙自嵌入
以上所有可以存在的嵌入都不會有嵌入點，因而不存在Reinhardt, 因為這些非良基集合論都只是ZFC的保守擴張。對等地，ZFC-V=WF也不能證明Kunen不一致。
無論是哪種非良基集合論都不會有非平凡初等嵌入j:WF→WF[1], [2] .
ZFC-V=WF+ 「存在非平凡宇宙自同構」相對一致。特別的，ZFC無法脫離良基公理證明(關於V的)Kunen不一致。[1]
如果ZFC-V=WF+V=WF(At)+ "存在宇宙自同構"，那麼有真類At -> At是At的全排列。[1]
如果ZFC-V=WF+V=WF(At)並且|At|≥2那麼存在非平凡宇宙自同構。這也意味著嵌入j:WF(At)→WF(At)的存在。
[1]在ZFC-V=WF+V=WF(At)工作。如果At只是乙個集合並且|At|=2，那麼 - 宇宙自嵌入也是宇宙自同構。如果At是乙個真類，- 宇宙自嵌入不是宇宙自同構。
但存在如下的在 - 嵌入是自同構： 自然的，這也意味著 - 嵌入j:WF(At)→WF(At)的存在。
[1]BAFA存在非平凡宇宙自同構。如果存在BAFA的傳遞模型，那麼等價於存在宇宙自嵌入，但這種自嵌入不是自同構。[1]
BAFA不存在非平凡 - 宇宙自嵌入可以被帶引數的一階集合論語言定義。[1]
BAFA存在G的自同構，G的傳遞集 的自同構， 的自同構。[1]
如果ZFC一致那麼存在NGB-AF+AC的模型存在真類是宇宙非平凡自嵌入但不會是非平凡宇宙自同構。[1]
IE和~AFA譜系不存在非平凡 - 宇宙自嵌入。[1]
以上所有可以存在的嵌入都不會有嵌入點，因而不存在Reinhardt, 因為她們都只是ZFC的保守擴張，而Reinhardt是極其強力的決定性公理變體和超大基數。[3]
NF/NFU/ML是否存在宇宙自嵌入及其嵌入點尚不明確，但很有可能沒有嵌入點，因為TST型別論和ZFA的某些相對一致結果。NF/NFU/ML下的Kunen不一致證明尚不明確。根據我和幾位做NF的教授的通訊結果，他們普遍認為NF內不會有宇宙自嵌入（無證據），非平凡的宇宙自同構則「很有意思」[4]
事實上，鑑於在NF/NFU中存放全體合法集合的容器也是乙個集合（大全集），如何定義反射論證並且不與分層歸納公理相違背也是乙個未知的問題。
是否能從T:MK-V=WF+ 存在Reinhardt直接組建乙個一致的非良基公理尚不明確。或許，有人會希望建立乙個合適的非良基模型，其中不存在選擇公理，並且其中存在某些非良基集合不存在基於傳遞∈-圖的良基副本，並且可以進行非平凡宇宙自嵌入。
[1]2.1.1. 即使T存在嵌入點, 是否存在乙個內模型 也尚不明確。
2.1.2. 也不明確關於終極-L關於強緊緻基數的弱延展系統的證明是否能夠作用於T之中。
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