1樓：
說一點點自己的理解，我學的很少，只能簡單的說一些平凡的感悟.
其實我以前一直不明白，大家一直在談論的幾何到底是什麼，一直以為微分流形就算是幾何了，但是看完之後只感覺到了遇到了挺多點集拓撲，也沒有感覺到什麼具體的幾何.
後來才慢慢明白，流形其實並不是幾何，幾何是在流形上面被研究的.
而流形是什麼，他是我們全新的小宇宙，他是歐氏空間的推廣，這意味著以前我們在歐氏空間裡玩的那些分析，幾何可以搬到流形上面去，比如微分流形上加黎曼度量，然後再研究一些幾何性質，這就是黎曼幾何，再比如我們可以關心乙個pde在流形上的解，而不僅僅是歐式空間，這就屬於幾何分析的範疇.
當然，也可以不加度量，單單研究流形本身，這就屬於拓撲的範疇，我們在歐氏空間裡沒有過多的研究過歐式空間的拓撲性質，因為不同維數的歐式空間分類是顯然的，而不同維數的流形的分類卻是豐富多彩的，它們可以有著天壤之別.
2樓：
微分幾何研究的就是流形。流形就是乙個區域性歐的幾何空間。區域性歐就是從局域來看是個歐氏空間,但是整體來看就不一定是。
比如二維球面就是乙個流形，橢球面，雙曲面，拋物面，甜甜圈，莫比烏斯帶等等都是二維流形。
微分幾何就是研究這些流形內稟性質的幾何學，用的手法就是主要微分形式。
什麼是內稟性質？
內稟性質就是不需要將彎曲空間嵌入到高維的歐幾里得空間（這是上帝視角，宇宙是乙個時空流形，但是你跑不出宇宙時空，沒有辦法站在上帝視角審視宇宙），僅在空間裡面就可以進行研究的幾何性質。
那些是內稟性質呢？
測地線，平移，撓率，曲率，空間對稱性。。。
微分幾何都有那些內容呢？
1、座標變換(幾何性質與座標系無關，可以隨便切換座標系）；
2、切向量，餘切向量，切空間，餘切空間，向量場，推前對映，拉回對映；
3、張量，外微分與外代數；
4、子流行，stocks定理等
5、單引數群,李導數，指數對映。
1、平行聯絡，測地線，曲率，和樂群。
2、度規張量，克里斯多夫符號，黎曼子流形。
3、killing向量場，星運算元
學到這，你就能看懂廣義相對論，研究現代天文學了，再也不是文科生講相對論-胡扯了。1、李群，李代數;（微分幾何中的群，主要是李群，李群描述空間的對稱性，根據諾特定理，對稱性對應這守恆流，在物理學中這是王炸級別的定理。）
2、纖維叢，主叢、伴叢;
3、規範場論.
學到這，你就能看懂楊振寧的楊-公尺爾斯方程相關的現代物理學了。
怎麼樣？就這麼點東西，很快就能學完的。
3樓：
首先糾正提幹的乙個錯誤：「流形」是乙個數學物件、被研究物件，而不能說「流形研究的是什麼」。
線性代數研究有限維線性空間，線性泛函分析研究無限維線性空間。那什麼樣的數學研究「非線性」空間呢？
微分幾何的研究物件是微分流形。微分流形，一般指有限維非線性空間，並且我們要求這種非線性空間具有一系列好的性質，最關鍵的——它允許我們做微分運算，或者說，這種「非線性空間」是具有微分結構的。通俗地講，就是「光滑」的！
光滑曲線、光滑曲面就是這些低維「非線性空間」被嵌入到歐幾里得空間中的例子。但是我們不能總把非線性空間嵌入到乙個高維度的線性空間中去研究，因為……舉個例子，當我們在物理學——廣義相對論中研究時空流形的時候，我們沒辦法想象把乙個四維時空嵌入到更高維的歐幾里得空間中去——我們只是三維空間中的人而已。乙個曲面，你從曲面外部看，當然一眼就能看出曲面有沒有彎曲，但是如果你是曲面中的人，你如何發現自己身處的「時空」發生彎曲了呢？！
這就迫使數學家們去發展內蘊幾何——把曲面本身當作一種空間去研究。這就是流形——作為「彎曲空間」、「非線性空間」的由來。
除了廣義相對論以外，微分幾何也有很多實際應用價值，比如非線性控制理論中，我們需要借助微分幾何（Lie導數）這一工具刻畫非線性動態系統的可解性；在人工智慧的流形學習領域，需要考察優化演算法的結果是否真的收斂於流形上的測地線；此外，微分幾何在影視娛樂領域也發揮重要作用，酷炫的電影特效、計算機圖形學……都有微分幾何的身影。
另外有一門經常容易與微分幾何混淆的數學分支叫做：微分拓撲。它的研究物件也是微分流形，只不過拓撲學其實不太關注「度量」和「聯絡」。
拓撲學更加關注「定性」性質，比如橫截性。因此這門學科在經濟學中，特別是微觀經濟學的一般均衡理論中非常重要，因為經濟學的一般均衡理論在數學上就等價於「市場」這一動力系統的定性理論。
最後還有個坑，上面說到：有限維線性空間、無限維線性空間、有限維流形都有研究了，那什麼是「無限維流形」呢？如果乙個無限維空間，其區域性總是微分同胚於乙個Banach空間，那麼它就成為「Banach流形」。
我們會關注Banach流形上的泛函臨界點與Banach流形的拓撲性質，這其實是現代變分學（非線性泛函分析）研究的核心問題。
4樓：明哲
如果說，一般微積分研究的是平面中曲線的變化。
那麼，微分幾何研究的就是三維空間中曲面的變化。
其他一切可置換。
曲線——流形
函式——向量函式
角度——曲率
導數——梯度
原點、交點——橢圓點、雙曲點、拋物點、平點……情況比二維空間複雜得多，但基本出發點如此
5樓：Yuhang Liu
流形是曲面的高維推廣。之所以在學現代微分幾何以前數學系會安排一門「微分幾何」的本科課程來學習曲線曲面論，就是為了讓你熟悉曲面這個流形的原型。微分幾何會用到微積分是因為曲率的定義需要微分，回憶一下，空間曲線的曲率是什麼？
本質上就是切向量的導數，也就是曲線本身的二階導數。當然實際上在不光滑的奇異空間上我們也可以定義某種型別的曲率記號，比如Alexandrov space, CAT(0) space 等等，但是那個就比流形還要抽象了。
歐氏幾何是平坦的微分幾何，就是沒有曲率，而且整個空間的拓撲也是平凡的。和群論有聯絡是因為幾何裡面有很多對稱性，而群論是刻畫對稱性的工具，所以微分幾何裡面會有isometry group, holonomy group等等，當然基本群同調群這種拓撲不變數也會經常用到。
6樓：
微分幾何是研究流形(Manifolds)的幾何性質極其與拓撲結構關係的數學分支。
首先什麼叫流形呢？簡單得說，曲線是1維流形，曲面是2維流形，空間是3維流形，而n維流形就是這些直觀物件的推廣。
其次，首先什麼是幾何結構呢？最基本的幾何結構那就是度量(簡單的說就是可以定義長度，角度)，另外還有流形附加的結構，例如復結構(復幾何又是一門大數學分支了，可能狹義得說是代數幾何和微分幾何的交叉學科)，也就是曲線長度和曲面上的曲線長度，曲線夾角的推廣。由於高斯和黎曼的革命性工作，數學家在19世紀就知道了，可以只依賴於度量的定義所謂曲率的概念(低維情況參考任何一本曲線曲面的古典微分幾何書，學到絕妙定理)，這套理論在50多年後被愛因斯坦用來描述物質造成的時空彎曲(廣義相對論)。
流形的幾何結構和拓撲之間具有千絲萬縷的聯絡，例如著名的Gauss Bonnet Chern定律，乙個偶數維閉流形的尤拉示性式的積分等於流形的尤拉龐加萊數，這個定理是極其美妙的，低維版本所謂高斯博內公式。這一系列揭示幾何與拓撲關係的發展的乙個高峰就是Atiyah Singer指標定理(自行維基)。
說到拓撲，不得不提就是向量叢，纖維叢的概念了，說得簡單一點就是流形沒一點都配上乙個向量空間或者乙個流形(李群)。向量叢(主叢)的拓撲不變數之一就是所謂示性類，示性類的幾何表示就是Chern Weil理論。值得注意的是纖維叢和理論物理之間奇妙的關係(不太懂，我只知道麥克斯韋理論是洛倫茲流形上的U(1)規範理論，物理太渣了更深的不懂了)。
這就是一些入門級別的微分幾何了，再往深挖就得做很具體的問題，學習具體技術了。如果你的目的是為物理服務，應該是和數學口不是乙個套路，其實的話為物理服務的話我覺得梁燦斌的書不錯。
7樓：Dandan Liu
實在點，就是我現在有個曲面，我要研究它。怎麼研究？微分幾何告訴你。我現在有個彎曲的空間，怎麼研究它，還是微分幾何告訴你～
8樓：張騰
微分幾何主要還是告訴你乙個idea
而不是乙個演算法
也就是告訴人們看待事物（物件）以及處理事物（物件）的數學方法本質上應該不依賴於怎麼量化或者怎麼引數化這個事物（物件）所以應該存在一種更高層更抽象更本質的描述事物（物件）的方式自然也會希望有對應的實質上不依賴量化不依賴引數化選取的描述物件處理物件的方法
什麼切空間，切向量，切叢，李代數，李括號，拉回等等概念，就是為了實現這個目標，創造出來至少能讓大家不自說自話公理化的語言
基於這個idea 很多傳統解決方案的數學操作可以得到進一步改進當然也可能能創造出前人並沒提出過的方法
以上是一點淺見
9樓：Changkai Zhang
我這個量子場論都看不懂的理論物理學渣來強答一發數學問題。
數學家們通常研究的都是數集，通常大家學到的微積分等理論，都是建立在數集基礎上的。但是，如果我們現在想研究的物件並不是這些數，它們構成的是一般的集合，那怎麼辦？
於是我們首先發明了拓撲這個概念。對於在集合間的對映，如果不指定其它結構，最多只能談及一一到上（雙射）。現在，如果我們還想談及連續性，我們發現結構不夠用了。
連續函式在數集內有很好的定義，關鍵在於數集中可以定義開區間這個概念。這啟發我們，要想繼續談及連續性，就必須給一般集合定義開集，這些開集就可以用於定義這個附加的數學結構——拓撲結構。定義了拓撲的集合之間的對映最多可談及拓撲同胚。
好，繼續。如果現在我們還想談及可微性，結構就又不夠用了。這時我們想出的辦法就是構建由一組一般集合到數集的拓撲同胚對映，這就賦予了這個一般集合乙個微分結構，帶有這種微分結構的集合就被稱為微分流形。
微分流形之間的對映可以對應於乙個數集間的對映，因此便可談及可微性。而微分幾何通常就是研究微分流形上可能的幾何性質。
那麼這個微分流形理論有什麼用呢？我們換個角度看。這個由一般集合到數集的拓撲同胚對映可以看作是給這個一般集合中每個點賦予一組數。
因此，這就被稱為座標。這乙個同胚對映配以它的定義域就被稱為座標系。所以你可以看到它在群論裡的運用了。
如果你只有乙個群，那麼你就只有乙個代數結構（群結構），這是很弱的。但是如果你的這個群還是乙個流形（李群），那麼相當於給這個群建了乙個座標系，我們瞬間就有了很多很強的工具。除此之外，你還可以再在這上面疊加線性結構（李代數），以及定義它在其它流形上的作用（纖維叢）等等。
所以微分幾何是很重要的。
大家有誰初學流形用的是陳省身微分幾何講義，怎麼評價這本教材呢？
王文盲 因為這本書是我所學課程的教材，所以我初學用的它，但覺得它並不適合初學。實在看不懂的時候，我去讀了Loring W Tu的，也參考過Lee的，哇講的好清晰易懂。ps.不過，這書拋開引入概念的部分，初讀起來還算順暢。複習的時候重新讀此書，終於能通順的看下來了，還讀的很快樂，畢竟書薄 齊真 這本書...
偏導數 偏微分以及全微分的幾何意義是什麼？
RB 57D 我也大一，前一段時間也思考這個問題。偏導數就是把二元函式的乙個自變數不變，另乙個正常求導，就分別想象成z對x，y的函式。全微分就是乙個切面，來代替曲面，和曲面相交乙個點，所有曲面上的曲線的在這個點的切線都在切面上。全微分的dy和dx的係數就是偏積分 偏微分嘛。錯了勿噴 炸彈客 首先你要...
為什麼現代物理和微分幾何的關係這麼密切？
1，粗淺的看，只要你的物理系統可以用一組能光滑變換的引數描述，你都可以嘗試把這個引數空間定義為流形。其上的物理量也都可以找到幾何量對應。這些引數可以具有任何物理意義，不一定需要是時空座標。而物理能光滑變換的實引數隨處可見，這些都是可以用幾何語言的地方。3，總之啊，物理上引數和引數滿足的微分方程是隨處...