1樓：
1，粗淺的看，只要你的物理系統可以用一組能光滑變換的引數描述，你都可以嘗試把這個引數空間定義為流形。其上的物理量也都可以找到幾何量對應。
這些引數可以具有任何物理意義，不一定需要是時空座標。而物理能光滑變換的實引數隨處可見，這些都是可以用幾何語言的地方。
3，總之啊，物理上引數和引數滿足的微分方程是隨處可見的，只要有他們的地方其實都可能用幾何語言描述。這點適用於任意物理系統，並不僅限於時空流形，或者李群。
有些時候用吶，幾何語言是必須，有些時候則只是讓表述簡潔深刻一些而已(並不一定必要)。就比如人民群眾喜聞樂見的廣相和規範場，實質上都要考慮閔氏時空主叢上的聯絡和曲率，只不過乙個是標架叢，乙個是由規範群定義的叢。但你研究廣相的時候不懂點幾何表述是完全不行的，而你算QCD圈圖的時候不知道什麼是流形也是可以的。
2樓：Yuhang Liu
簡而言之，微分幾何是處理連續幾何空間的數學工具，而物理用到連續空間的地方數不數勝。其實分析力學用到古典辛幾何這種，按時代算都不能算現代物理了。拉格朗日哈密頓劉維爾難道算現代人物麼？
至於為什麼要用。。我覺得這種問題有點像「做菜為什麼要放蔥」。確實有些菜不用放蔥，但是很多菜放蔥就是很自然的事情。
像廣相、規範場論這種用微幾是很自然的事情，不是為了跟純數學沾點邊而生搬硬套的。你規定他們不准用微分幾何的語言來表述問題，他們反而會覺得難受，就好比該放蔥的菜不讓放蔥一樣。
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