1樓：Yuhang Liu
既然是問「關係」的話，那我再補充一點：
緊黎曼曲面拓撲上即是可定向的閉曲面，眾所周知可定向閉曲面是按虧格分類的，即球面，環麵，2個洞的環麵，etc.
其中（2維）球面上有獨特的復結構，即CP^1.然後這個復結構對應到乙個曲率恆正（標準化之後可使曲率恒為1）的黎曼度量，其實就是球面放在三維空間裡面的標準度量。這種情形叫做橢圓型的黎曼曲面，只有球面一種。
環麵的話，它上面可以取平坦的黎曼度量（即曲率恒為0），這種情形叫做拋物型黎曼曲面。注意到，環面上可以取不同的復結構，但對應的黎曼度量都是平坦的。
虧格為2以上的曲面，它上面可以取曲率恒為－1的黎曼度量，這種情形叫做雙曲型黎曼曲面。
那麼這些曲面上為什麼可以取到相應的黎曼度量？這些度量跟黎曼曲面的復結構又有什麼關係？先出個思考題，我再解釋：
球面上能不能取到曲率恆負的度量？環面上能不能取到曲率恆正或者恆負的度量？虧格為2的曲面能不能取到曲率恆正的度量？有哪個大定理直接給出了這些問題的答案？
OK,接下來開始解釋度量和復結構之間的關係。
球面已經說過了，它上面典則的復結構就是CP^1, 典則的度量就是球面的標準度量。
環麵的話，它可以看成復平面模掉乙個格點（lattice）後得到的商曲面。你取的lattice不同，得到的環面上的復結構也不同。但是復平面上我們取的是歐氏度量（就是什麼東西都沒有的最平凡的那種度量），你得到的商曲面上的度量是繼承了復平面上的度量，因此是平坦的。
虧格為2以上的曲面，它可以看成復平面中的單位圓盤（取Poincare度量）的商曲面。但是這個商曲面具體怎麼構造，不是環麵那麼簡單。首先虧格為2以上的曲面有多邊形表示，然後你要把這個多邊形鋪滿整個單位圓盤（多邊形的邊界取成Poincare度量下的測地線）。
鋪滿以後，你就自然地得到做商的方式了。然後，因為單位圓盤在Poincare度量下是標準的雙曲空間（即曲率恒為－1），所以商曲面也自然地繼承了這個雙曲度量。
環麵和虧格為2的曲面，它們的萬有覆蓋都是歐氏平面（復平面和單位圓盤是同胚的）。但是因為取的度量不同（乙個是平坦度量，乙個是雙曲度量），所以得到的商曲面也不一樣。
至於復平面上的平坦度量、單位圓盤上的Poincare度量和「復結構」有什麼關係，這個學了復變函式應該就明白了～
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