1樓：Serendipity
最近學習了一點勒貝格積分，在此記錄一下理解。
藍色：黎曼積分/類黎曼積分
紅色：勒貝格積分
黎曼積分首先將乙個函式的定義域分割成小區間，寬度為 ，然後用這些區間的函式在這些區間上的值 作為矩陣的高，然後將所有這些矩形的面積 相加。這個積分是當矩形的寬度縮小到0時這個和的極限。
Lebesgue積分也是相似的，但是它涉及到切分乙個函式的範圍，而不是其域。可以說，勒貝格積分基本上是乙個側面的黎曼積分。
積分的直觀含義是它給出了某個區域內函式的總量，它是求和的連續模擬。
Riemann和Lebesgue積分均以一定的極限值來計算曲線下的面積，該極限會填充越來越多的空間，最後求各極限面積做加和來作為積分的結果。
如果可以通過與該求和函式緊密匹配的矩形區域的限制，來找到該函式的積分部分，則該函式為Riemann可積。這是一系列接近它的階躍函式，其中階躍函式的每個部分都是該區間內某處函式的評估值，或區間最大值。
如果我們可以通過使用收斂到該求和函式的簡單函式序列的極限，來找到函式的積分，則該函式是Lebesgue可積的。
此外，Riemann積分僅在變數間隔上定義，而Lebesgue積分在任何量度空間中定義，看起來定義的更寬泛一些，也就是說理論上如果 是Riemann可積函式，則一定是Lebesgue 可積函式。
2樓：AnxQ
個人理解：
黎曼分割定義域，並取每乙個小區間值域上的某個值作為方形區域的高，對每個方形區域面積求和並取極限。
勒貝格分割值域，從而在定義域上取原像集合（可以是連續的區間，也可以是離散的點）並賦予集合「長度」的概念（引發測度的概念），並類似地對乙個抽象的方形區域求和並取極限。
3樓：飛鴻雪泥
想知道這個問題的答案就該去看周民強先生的《實變函式論》前言部分，下面是個人的一點鄙見:勾勒大概&提供思想，僅供參考(主要是為了練習LaTex)
4樓：JSQ1221
好問題，大多數回答都是認為Lebsgue 積分優於Riemann積分，我想提供乙個不一樣的觀點。
在隨機積分中，關於Brownian Motion的積分都是用Riemann積分定義的，理由在於，此時的可測集是在不斷變大，所以只能一步一步往前積分。所以在現代數學中，Riemann積分也不是完全可以被替代。
5樓：啦啦啦
後者是前者的完備化，啥叫完備化呢，比如存在這樣乙個黎曼可積函式列Sn(x)(即每一項都是黎曼可積的)，n趨於無窮時，Sn(x)存在極限S(x)，但S(x)不是黎曼可積的，勒貝格積分的定義就不存在這種問題。
這樣就可以在勒貝格積分的定義下搞出完備化的可積函式空間(完備度量空間)，如果換成黎曼可積函式空間，在該空間任取一柯西列，該柯西列可能不收斂於該空間，這樣黎曼定義下的可積函式空間就失去了意義(考慮有理數與實數，實數是有理數的完備化)，因為我們需要在可積空間的基礎上應用大量的極限操作，譬如勒貝格控制收斂定理，在黎曼可積的意義下直接不成立。
但是後者難度高很多，所以大一開始學的是黎曼積分，其實一開始學勒貝格積分也是可以的，但不是每個大一學生都那麼聰明的。
6樓：shinbade
勒貝格積分的定義，包含了黎曼積分，是黎曼積分的推廣。
既然是推廣，那當然，在黎曼積分有定義的情況下，二者一定相等。
但有些情況下，按照黎曼積分的定義，無法計算積分（或積分不存在），這時按照勒貝格的定義，仍然能計算積分。
不過，真要想弄明白兩者的關係，不讀書是不行的。
7樓：cvgmt
本質區別在於我們的區域不再用有限個方塊逼近，而是用可數個方塊逼近，從而導致 Lebesgue 測度。
接下來所有的構造與 Riemann 積分可以寫成一模一樣，不去分割值域也可以。
8樓：Mengqi Hu
反常積分的情況比較複雜，在此不論。正常積分的範疇內，黎曼積分是利用分劃定義域求函式超曲面到自變數定義的超平面內空間的體積；勒貝格積分是利用分劃值域來求體積。
精確的定義需要測度論的知識，自己慢慢學吧
勒貝格積分與黎曼積分的區別？
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既然勒貝格積分是黎曼積分的改進，那為什麼還要學黎曼積分？淘汰黎曼積分，直接學勒貝格積分不好嗎？
蘇劍林 黎曼積分比勒貝格積分直觀，而且也不是說勒貝格積分就一定比黎曼積分強，可以參考 為什麼勒貝格積分比黎曼積分強？科學空間 Scientific Spaces Sunbelt 不談數學內容，講個事實 北師大數學那邊曾經有幾屆我記得王崑揚老師就是這麼安排的分析課程，不講黎曼積分，直接講的勒貝格積分，...
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