1樓：蘇劍林
黎曼積分比勒貝格積分直觀，而且也不是說勒貝格積分就一定比黎曼積分強，可以參考：
為什麼勒貝格積分比黎曼積分強？ - 科學空間|Scientific Spaces
2樓：Sunbelt
不談數學內容，講個事實～
北師大數學那邊曾經有幾屆我記得王崑揚老師就是這麼安排的分析課程，不講黎曼積分，直接講的勒貝格積分，印象裡郇老師課上提過這事還～
3樓：
勒貝格積分更大的作用是從積分理論上對黎曼積分做了完善，從而作為分析理論的根基更加牢固。具體來說，彌補了黎曼積分的三大缺陷：
黎曼可積對函式連續性要求過高，使用範圍不夠廣
積分運算與極限運算不可以交換位置
黎曼可積函式構成的空間是不完備的
這兩種積分計算的都是曲線與x軸圍成面積的代數和，只是黎曼積分是挨著按順序累積（相當於一堆錢按堆放順序計總），勒貝格積分是先規整再累積（相當於把錢按面額歸類再計總）。
勒貝格積分有個結論：如果函式黎曼可積，那麼一定勒貝格可積，並且兩個積分值相等。
遇到的大多數函式做累積，就是黎曼可積的，用黎曼積分也更好計算，沒有必要用勒貝格積分來計算。
4樓：kevin
學什麼中學物理啊，都是非常理想的近似而已，直接初二就開量子場論和廣義相對論不就行了，這樣就把能問得出這種問題的人給淘汰掉了吧
5樓：王箏
如果你處理的物件是連續、可微甚至光滑的函式，比如黎曼流形啊微分形式啊之類的，那麼可能學勒貝格積分的唯一的用處是告訴你，可積的東西在某種意義下是完備的。但是並不能幫助你去計算乙個積分。比如你想知道某個閉形式的積分是某個拓撲量（這是很多有名的定理的形式），那勒貝格積分最多告訴你一些取極限的操作是合法的，但是真正計算出來還是要回到黎曼積分的框架。
本質上，給乙個比較具體形式的積分，要想知道積分的值的話，我們幾乎唯一的工具就是一維直線上的微積分基本定理。而勒貝格積分是真的難算。回憶一下，勒貝格積分是用劃分值域的形式定義的，也就是要求某個區間的原像的測度，這實際上是很難求的。
所以談到計算數學裡面的數值積分，用的框架一定是黎曼積分。如果按照題主的假設，那整個數值積分就不存在了。
說個不客氣的話，整個實變函式課程中，我們可能從來沒有計算過任何乙個具體的積分。初學積分的時候可以用各種技巧計算一些特殊函式的積分得到帶著pi、e之類的式子，有了Stokes公式就可以把微分形式的積分算出來，而學了留數定理更可以把一些本來不可能算的東西求出值來。這一類驚喜的時刻，在實變函式的課程中一次也不會有的。
除了可以算以外，黎曼積分和勒貝格積分也是來自於不同的定義框架，因此如果推廣的話，不見得哪個更好。初學的時候，二者都能處理的，簡單起見，就是閉區間[0,1]上連續實值函式的積分。粗略的來說，乙個是劃分定義域，乙個是劃分值域。
因此，如果定義域推廣了，那麼劃分值域的方法還奏效，這就是一般的測度空間上函式的積分。但是反過來，如果值域推廣了，定義域還沒變，比如閉區間上連續的運算元值函式的積分，那黎曼積分的框架就更舒服了，比如定義運算元的Riesz函式演算。（勒貝格積分的框架也可以，就是所謂的Bochner積分，但是沒那麼舒服。
）p.s. 為了彌補實變函式中沒算過具體積分的遺憾，留個習題：如果乙個隨機變數的分布函式是Cantor函式，那麼其期望是多少？
6樓：青春
看過一句話，覺得很有道理，大意是"所有數學都是有用的，真理是統一的，不可能忽視其中一部分而使整體不受損失。"黎曼積分和勒貝格積分在不同情形都有各自的用處。我在黎曼全集中看到過黎曼積分的原始提出過程，其實也不是那麼平凡，因為黎曼給出了所謂黎曼可積分充要條件，而這不是那麼容易的。
我把黎曼的原始推導拍照放在下面，大家感興趣可以看一下:
7樓：切我
因為勒貝格積分本來就不是黎曼積分的改進。基於區域劃分求和定義的積分和基於測度空間定義的積分是兩種根本上不同的思路（考慮一下曲線積分和曲面積分，兩者之間的差異在這裡體現得要比一元函式積分明顯得多），它們只是在某些特殊情形下產生相同的值而已。
黎曼積分性質不夠「好」的問題已經被定義方式類似的 Kurzweil-Henstock 積分（以下稱 HK 積分）解決了。HK 積分的性質就歐氏空間來說比黎曼積分和勒貝格積分「好」得多，定義起來還比勒貝格積分容易。HK 積分代替黎曼積分是完全沒有問題的。
那麼 HK 積分能不能完全代替勒貝格積分積分呢？不能，原因和勒貝格積分沒有完全代替黎曼積分一樣。
8樓：
人類幾千年數學史中最重要的數學發現是牛頓--萊布尼茲公式。在這兩位的所在的時代，他們寫下的積分公式其實是不嚴格的，沒有被良好定義。而之後三百多年內數學家不停的嘗試讓積分公式更加嚴格更加完美。
對於乙個數學家來說，最重要的不是去學習乙個『最好最完善』的理論，而是去理解這些理論背後的motivation和新的idea。而微積分被良好定義的路上有很多非常關鍵的思想。其中幾乎是最重要的兩個之中，乙個是黎曼積分，乙個是勒貝格積分。
所以去理解這種思想比簡單的記憶最後的結論要重要的多吧！畢竟不是以考試為目的的急功近利的學習數學。
9樓：Hao Jia
黎曼積分比Lebesgue積分更直觀，容易理解，所需要的數學基礎較少，方便教學。Lebesgue積分最重要的屬性是在此積分下定義的一些函式空間具有完備性，比如L2空間。但是非數學專業學生可能沒有必要完全理解這種完備性，正如非數學專業學生沒有必要去學習如何從有理數構造完備的實數一樣。
即使數學系的學生，從黎曼積分出發的學習方式也更容易理解。畢竟大家學習引力也不需要直接學習廣義相對論。
10樓：
在控制收斂定理、速降函式空間、L^p函式空間的基礎上，可以證明很多情況下只需考慮有緊支集的連續函式空間。而勒貝格積分限制在有緊支集的連續函式上就是黎曼積分。
我學物理也不多。我理解就是廣義相對論限制在巨集觀低速上就是牛頓力學，所以我這樣不需要用太深的，學牛頓力學就足夠，深入研究才要進一步學習。積分理論的道理類似
作為數學系的，當然要數學分析實變函式實分析一路學下來。但學微積分的，不是只有數學、物理、計算機等需要深入研究數學的。還有財經、醫學、管理等，大部分人知道微積分基本定理就夠。
對大部分人來說數學理論就是黑箱，知道頭尾就好，普及性的深入教學耗費高收益低。
11樓：gmachine1729
很多積分操作以黎曼積分遠遠更容易，尤其在數學為實用的如物理的學科，我個人有勒貝格積分更多為個純數的東西，尤其測度論的那套，當然有可能在經濟，金融，概率它有些我不知道的直接的用處。
12樓：唐子騫
因為這符合人類的認識規律，你學了黎曼積分，才能體會到為什麼勒貝格積分是黎曼積分的改進。此外，因為數學不僅僅研究結構，還要研究結構跟結構之間的關係，你必須把勒貝格積分和黎曼積分對比，從多個角度認識它，才能更好地把握它。
13樓：C.Jie
1 黎曼積分需要的前置知識更少，相對來說幾何直觀更強，方便非數學系學生使用，另外大部分工程或者物理等處理的函式性質沒有那麼壞，沒必要使用勒貝格積分，勒貝格積分相對更抽象，很多數學系的學生學完，其實對於可測，測度，可測空間，測度空間等概念其實都沒有怎麼理解透，更何況工科的學生
2 勒貝格積分沒有辦法完全替代黎曼積分，勒貝格積分處理不了或者說不好出理很多反常積分，而很多反常積分在物理或者工程上有著非常重要的作用
最後很多時候數學不是越一般就越好的，是的，一般情況下勒貝格可積是更容易滿足，可測函式的函式族更多，但其函式空間的結構或者這個函式本身的結構可能就沒有那麼好了！學什麼理論，用什麼工具還是得看自己的需要，用不上的東西為什麼要強迫去學呢？
14樓：iop
數學民工dhchen的回答一點也沒答到點子上，完全是為了割韭菜，難道就不能提到（廣義）Riemann可積函式不一定Lebesgue可積？dhchen的學問是如此之差！
Lebesgue積分雖然比Riemann積分更廣泛，但仍然不能撼動Riemann積分的地位。比如說， 在 上Riemann可積但不Lebesgue可積。再比如，兩個函式的積分相等， ,
如果 但 ，那麼左邊的積分就只能是Riemann積分。
但是，以後用的更多的還是Lebesgue積分，而國內本科數學系花大量的時間學Riemann積分，這的確不合理，導致學生學的都是一些細枝末節的東西，不論以後是什麼研究方向，完全用不到，最後全就忘了，說到底是國內懶得改革。
一些人說這裡Riemann積分前面應該加上廣義，這其實沒有必要，直接說Riemann可積即可，數學分析中正常積分和非正常積分直接統一到Riemann積分裡面完全可以。而且Lebesgue積分沒有區分正常和非正常，用Lebesgue積分的極限不能推廣Lebesgue積分定義，說廣義Riemann積分學Lebesgue積分時就容易搞混。
15樓：
還是有必要學 Riemann 積分但是可以只學很少 . Riemann sum 是更加現實地可計算的 . Riemann 積分還可以很自然地又方便地解釋對向量值函式的積分 .
另外推薦 Serge Lang 的 Real and Functional Analysis , 我覺得裡面定義的那種 Bochner 積分的變體 , cauchy step map 序列的逼近或 step map 空間的完備化 , 才是最好的解釋 Lebesgue 積分的方式 . 參見這篇文章
16樓：鬧鐘
我認為學是沒問題的，但是不學黎曼積分，你就不明白勒貝格積分為啥重要。畢竟勒貝格那一套是為了兩個目的搞出來的：
回答黎曼積分存在的條件，從而搞出測度
擴充套件可積分的函式的範圍，從而發展處勒貝格積分如果不學勒貝格積分，你就會丈二和尚摸不著頭腦，不明白為啥要搞出測度這個東西，然後通過勒貝格積分得到的結果你也會覺得很平凡沒啥意思---實際上完全不是這樣，只有把黎曼積分發展到勒貝格積分才能得到這麼漂亮的結果。
17樓：陳必紅
其實，在乙個學生成長過程中在他頭腦中建立乙個數學體系是挺麻煩的。例如，先學課程A，再學B，再學C，等等。其實這樣學最後還是稀里糊塗的。
這是因為，多門學科相互滲透，也許是，第一遍學A，不太懂，再學B，也不太懂，再學C，也不太懂，最後又把A，B，C從頭學一遍，這下清楚了。比如現在，先學導數，再學積分，其實導數是乙個無限維空間的運算元，運算元的概念是泛函分析那門課提出的。不定積分有乙個常數C，而這個來自於線性代數的非滿秩的線性方程組的自由變數。
而學完微積分後還沒有宣布面積是怎麼定義的，而面積是一種測度，測度是實變函式中正式定義的。但是實變函式又是定義在無限維線性空間上的，而線性空間是線性代數這門課學的，而實變函式不突破到復變函式，產生解析函式的概念，也無法對初等函式有深刻的理解。而如果要先學線性代數呢？
那實數矩陣，實數支援的線性空間，當然必須要有實數支援，但是實數還沒有定義呢？要定義實數就要有極限的概念，但是極限又是在微積分這門課中學的。你瞧這一團亂麻。
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