1樓：ligiao
這東西在古時候被稱為數的幾何，當然這倆並不是直接推廣的關係，我這篇回答主要想解釋為什麼它被稱為數的幾何。
在代數數論裡我們首先學會的就是代數整數環，現在考慮乙個數域K，整數環O_K。在代數數論裡已經證明這是乙個戴德金環，換句話說Spec O_K是正則概形。之後我們考慮了Pic O_K，同構於Weil類群，我們證明了這東西是有限的。
此外我們還證明了O_K乘法群的結構，通過log我們可以在差乙個有限子群的意義下把它嵌入 R^r 中的乙個超平面上，使之成為乙個格。這兩個定理都使用了Minkowsiki定理證明，表面上看也沒啥關係，但實際上，如果我們能尋找到合適的 Spec O_K 上的「幾何」，這兩個東西合起來可以看成是 「Pic^0 緊」 這個在代數幾何中熟知的命題。
思路是不難的，實際上這東西在類域論裡也被提到了，就是在Spec O_K 裡新增上無窮遠點。具體來說，我們定義DIV是Div再直和上若干個R，每個R 對乙個無限位，那麼乘積公式促使我們在 DIV上定義乙個次數，使得主除子次數都是0，因此可以定義乙個 PIC^0。不難驗證有下面的正和列
0 to DIV^0_inf/log O_K* to PIC^0 to Pic to 0
中間這個東西被稱為算術類群，但目前為止，這東西還只是乙個強行定義的東西，看不出什麼好處，為此需要給乙個線叢的描述。
這促使我們補充乙個所謂諤公尺線叢的東西，具體來說，就是乙個 Spec O_K的線叢附加無限點的內積，這東西在tensor下仍是群，稱為完備pic，可以證明完備pic同構於 PIC 因此可以定義次數，這與代數曲線裡定義次數是類似的。有了線叢加持，我們可以類似代數曲線論去研究它的 Riemann Roch，類似還有向量叢的 HN濾解。通過Riemann Roch可以更直觀地證明上面兩個定理。
當然，nothing new... 這個情況太平凡了玩不出什麼花來。
另乙個例子是高度，這個說起來更長了，有時間再更。
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