1樓：MathBeginner
簡單來說，算術幾何（arithemetic geometry）是用幾何（或代數幾何）的方法來研究數論的問題。
考慮乙個例子，f(x)=x^3-1的解。在complex number這個field下，很容易可以找到它的三個roots。那麼現在，我們把field換一下，考慮在 （Z mod p）這個field下的解。
這就變成了數論中的乙個問題。
那麼問題是，這個東西和幾何有什麼關係呢？我們考慮另外乙個例子g(x)=x^3-y^3。這是乙個方程，顯然它的解對應著二維平面中（over complex number）的乙個curve（這個地方應該會有人較真，說不是一條。
這個地方的cruve可以是reducible, singular的）。那麼，我們把field換成（Z mod p），這時在這個field中g(x)的解被叫做p-torsion points。就變成了乙個典型的數論問題。
上面是基本的例子來解釋下算術幾何是幹啥的。實際上，用代數幾何的方法來研究類似於上面的數論問題已經成為了現代數學非常重要的方法。Weil conjecture的解決，Langlands program的構造，新晉土地獎得主Peter Scholze所構造的perfectoid space等等都是這個領域非常重要的問題。
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