1樓：李歸農
雖然思想上有共同之處，但非交換幾何不止一種。Kontsevich和Ginzburg等人意義下的非交換幾何和Connes的非交換幾何是不同的。前者主要是非交換的代數幾何/辛幾何，而後者主要是非交換的微分幾何，後者的研究要比前者更精細，相信也能證明出更deep的結果。
我個人略有一點涉獵的是前者，之前也寫了個回答：
匯出非交換代數幾何是做什麼？
這裡就不重複了。
本質上，這種非交換幾何之所以不夠深刻，是因為若用category和algebra來代替幾何物件本身，就已經用不變數替換了幾何物件。即使這個不變數非常elegant，比如 -category，實際上也往往不能recover幾何物件的所有資訊。和代數幾何上研究得很成熟的reconstruction不同，辛流形一般來說是不能通過Fukaya category來recover的，見我三年前在Mathoverflow的回答：
Can a symplectic manifold be recovered from its Lagrangians?
根據我的經驗，對於辛幾何而言，只有限制在非常特殊的情形，reconstruction才是可能的。我導師最近又告訴了我一些可能可以證明reconstruction的辛流形，我準備試一試。這些結果可能有趣，但都不是本質的。
更本質地，Fukaya category等不變數往往通過homological mirror symmetry對應到代數幾何上的不變數。但是和代數幾何不同，辛幾何雖然有rigidity的方面，但更多的是flexibility，而homological mirror symmetry卻僅僅capture了辛流形rigidity方面的性質，而多餘的flexibility則導致許多不變數對於研究辛流形而言不是非常有效。因此，代數幾何上的結果雖然為辛幾何提供了很多motivation，但並非所有的代數幾何結果都有辛幾何上的analogue，它們本質上是不同的幾何。
辛幾何更接近於拓撲，但Whitney和Smale的工作表明，微分拓撲在高維就變得無趣，因此給流形加上辛結構是使得拓撲在高維重新變得有趣的方式。但是因為辛結構增加了rigidity，導致在低維它就不如微分拓撲那麼有挑戰性了。因此，在數學上，微分拓撲在低維才有趣，而辛幾何在高維才有挑戰性。
[1711.04263] Stability conditions in symplectic topology
這是他今年ICM talk的主要內容。
2樓：Yuhang Liu
很遺憾，知乎上可能沒有人能答這種題，因為知乎上據我所知好像沒有做非交換幾何的，5年前可能有，現在這個環境估計也早就走了。所以我來強答一下。
非交換幾何如何入門？
[math/0506603] Lectures on Noncommutative Geometry
然後我大概講講我懂的部分。非交換幾何的動機據稱來自Gelfand表示定理：任意交換C*代數都同構於某個Hausdorff空間X上的復值連續函式空間C(X)。
然後如果我們考慮非交換的C*代數，那麼就可以對應到「非交換的拓撲空間」，就可以研究這種非交換空間的幾何性質。這就是非交換幾何。我大三的時候就開始聽到這種說法，在不同的場合聽不同的人說了好多次，至今不明白什麼叫「非交換的拓撲空間」；復旦有好幾位老師做非交換幾何相關的研究，所以耳濡目染也聽到了幾個名詞，甚至還考慮過做非交換幾何；然而在我看到C*代數入門教材的厚度後還是果斷放棄了。
另外非交換幾何在幾何上是真有用的。Alain Connes算是這個領域的創始人，他的經典成就之一是用非交換幾何的工具處理foliation情況下（leafwise）positive scalar curvature的問題；然而我完全不懂具體過程。有懂的可以多說說，我權當拋磚了。
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其實是有的。你說的純幾何，應該指的是類似笛卡爾座標下，關於多面體的研究吧？這類研究統稱為凸幾何，主要是研究歐式空間中凸多面體的性質。這類研究會用到很多組合的方法，以及有理數無理數的巧妙組合。多面體在各類幾何學中都會很自然地出現，而多面體頂點的有理數點和其中的無理數點都是極為重要的。多面體可以極大地簡...
相對論為什麼要用非歐幾何，比如？
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小易 我寫下自己的想法吧，我思考幾天了，今天突然感覺用逆向思維來看的話是這樣的 根據光線可逆，我們假設物體A是另外乙個物體的乙個成像，那麼這個像被我們看到了，物體A為什麼被我們看到？因為他的各個點都可以發射出各個方向的光線，也就是根據光線可逆，無數光線會聚在這點，這點就被我們看到了。物體A無數個點都...