1樓：寨森Lambda-CDM
修改：我大概知道題主是什麼意思了。題主的意思是：函式f(x)在無窮遠處有極限，且導函式f'(x)在無窮遠處(的極限)也存在，那麼f'(x)在無窮遠處的極限是0麼?
如果這麼理解，這句話是真命題。用反證法。
設x趨近於正無窮時，lim f(x)=c，lim f'(x)=k，其中c和k是常數。
假設f'(x)在無窮遠處極限不是0，即k≠0
設g(x)=1/x，h(x)=f(x)/x
則有h'(x)/g'(x)=f(x)-xf'(x)
且有lim h(x)/g(x)=lim f(x)=c
根據洛必達法則，有lim h'(x)/g'(x)=c
注意洛必達是要滿足三個條件的。
第一，x趨於無窮時h(x)和g(x)趨於0。
第二，x>N時h'(x)和g'(x)都存在且後者不等於0。
第三，lim h'(x)/g'(x)存在或為無窮大。
第一第二是顯然滿足的。根據k≠0，得到
lim h'(x)/g'(x)=lim f(x)-xf'(x)=c–k·lim x是無窮大，所以第三也是滿足的。因此這裡可以使用洛必達。
而 lim h'(x)/g'(x)=c 與 lim h'(x)/g'(x)是無窮大這二者是矛盾的。因此原假設不成立，故k=0
如何理解具有極限的函式與無窮小的關係？
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