函式極限為無窮大時，極限的唯一性是否成立，為什麼？

1樓：王鑫

題主需要的是張筑生《數學分析新講（第一冊）》的87頁的定理5。書中，該定理的正式描述前有一段定性描述，摘錄如下。

無論是有窮極限或者是定號的無窮極限，乙個序列的極限都不能多於乙個。換句話說，對於擴充後的情形，極限的唯一性仍然保持。

2樓：

題主和前幾位答主貌似是學高數的，其實高等數學很多東西是沒有講清楚的。畢竟是適合專業需要的課程，並不要求所有人都得修完數學系課程。

在分析學裡面，實數域是不包括「無窮」的，正如記號的形象化意義，無窮不包含在裡面（此處不嚴謹）。也就是說：無窮不是實數，因此才有了高數書上說「極限不存在的說法」。

乙個不太容易看出來的是，我們有時候確實需要把無窮囊括進來，這被叫做集合的緊化。如果我們加了乙個「點」 —— 無窮 —— 進來，就叫做單點緊化，記為 R ∪ 。如果我們加了兩個「點」 —— 正負無窮 —— 進來，就是兩點緊化，記為 R有時候把正負無窮簡稱為無窮。

這裡採用後者的處理方法。

加上無窮的實數系叫做擴充實數系，只有在這裡面我們才可以說：極限為無窮大。為了方便，以正無窮大為例。

首先乙個關鍵的問題還沒有解決：不管是說極限為無窮大還是說要加乙個「無窮大」進來，都得先明確：什麼是無窮大！

一般來說，正無窮大的定義是：對實數系中任意的P，+∞大於P。當然還可以用乙個共形對映來解決，即令P*=1/P，P是原來的實數系中的數。

那麼從0+逼近，得到的就是0+ = 1/(+∞)，從0-逼近就是0- = 1/(-∞)。其實從這裡也可以看出為什麼有的時候要做單點緊化。可以形象一點：

單點緊化把實數軸x彎曲連線起來，形成乙個圈，而兩點緊化就是補充成乙個「閉」的線。（嚴格的講，「閉」應該指的是緊緻的集合）試試看，你可以很容易得構造乙個對映，使得閉區間上的點和兩點緊化的實數系上的點一一對應，同樣也可以構造乙個對映使得圓上的點和單點緊化實數系上的點一一對應。

既然正無窮大（以正無窮為例）是乙個點，那麼函式極限是正無窮大，當然滿足唯一性，這一點也可以從定義看出來。

不過有人可能還有疑問，為什麼不新增兩個正無窮。一般來說我們做一件事要有充分的理由，這種操作可以有，但是無法滿足我們熟悉的代數結構，也就是說破壞了我們熟知的運算法則，豈不是自找麻煩？

詳細的內容可以看看實分析和點集拓撲。

3樓：

無窮大不是極限。

補充一下：無窮大和無窮小都是滿足某些條件的函式，無窮小在某個點一定有極限0，無窮大沒有極限，只是在接近某個點的地方一定可以取到任意大的數。