1樓：夏日午後橘子汽水
首先，要說明的是：單調有界準則裡頭的「單調」並不是指嚴格單調，即可以取到等號。
因此，我補充乙個反例來說明：單調有界函式不一定有極限（其實就是左極限≠右極限的情況）。
這時候f單調有界，但在x=0處不存在極限。
2樓：稀里華磊
取y＝1/x （x∈Q）
當x→∞時，x為有理數時極限為0，x為無理數時無定義不存在極限，所以整體在∞處無極限
一般說的∞都是在R上分析的，你可以認為我是鑽了定義域的牛角尖單調有界數列有極限是因為n趨於無窮的話也只能是正整數，沒有無定義的情況
3樓：老傑里
我們假設問題問的是：函式不一定在所有點都有極限。
f(x) = x for x<0,
f(x) = x+1 for x>=0。
在x=0處只有左右極限，但是兩者不匹配，所以沒有極限。
如果要找乙個無處有極限的函式，使得f(x) = 1 for x=0，並且僅僅在這一點定義，那麼它在這點處沒有極限，因為旁邊啥都沒有，自然就沒有極限了。（補充1：有些定義中，這種情況被算作有極限。
補充2：單調函式，好像最多有可數個不連續的點，所以在乙個區間內定義的話，必然有些地方有極限。）
如果要使這個函式有界，有很多方法，比如使得它的定義域在[-1,1]。如果必須對於所有實數定義，而且必須要嚴格單調，那麼可以在末端接上k-1/x或者k+1/x的函式，這樣k就是上/下界，而且必然是嚴格單調的。
4樓：三本的未知使用者
函式的極限就比較複雜,如果只說求某某函式的極限,別人是不明白的,還必須要指明自變數（例如x）是如何變化的.
考慮自變數的變化趨勢,有x→x0（x0是某個實數,這有多少種?）與x→∞；細分的話,還有x從左邊趨向於x0、從右邊趨向於x0、趨向於正無窮大、趨向於負無窮大.
還不要忘記,我們研究函式的極限是有前提條件的：
研究x→x0時的極限,要求函式在x0某個去心鄰域內有定義；研究x→∞時的極限,要求存在正數X,當|x|>X時函式有定義.
只有在滿足前提條件下,才可以談這個函式此時的極限存在與不存在.
只給出函式單調有界,既不知道函式的定義域是怎樣的,又不知道自變數如何變化,這樣情形下談函式的極限根本就沒有絲毫的意義
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