1樓：開闢的預言者
對於在任意區間 上有無窮個0點和非0點的連續函式，優先考慮
這個函式在0點不連續，通過乘上 並增加 的次數可以增強它在0處的連續性及可導性
由於 ，不等式前後在0點的極限都是0，故 在0處的極限也是0，在0點連續
在0處的導數要按定義來做，
因此 時 不存在， 1" eeimg="1"/>時
在0點兩側，
因此 時 在0點處的極限不存在， 2" eeimg="1"/>時有
總結： 時 在0處連續但不可導，時 在0處連續可導，但導函式在0處不連續， 2" eeimg="1"/>時 在0處連續可導，且導函式也連續
因此滿足題意的函式可取
另外，由以上過程可以發現， 中 的最低次數比 小2，其連續可導性完全由最低次數的那一項決定。因此可以推導出結論： 時， 在0點處 階可導，且階導函式連續。
時， 在0點處 階可導，但階導函式不連續。
2樓：233
在？既然知道x * sin(1/x)了，你不知道可以用x^3 * sin(1/x)嗎？
補定義f(0)=0，這樣f'(0)=0，而x≠0時f'(x)=3x * sin(1/x) - x * cos(1/x)，從而當x→0時f'(x)→0
x^k * sin(1/x)隨k的增大表現出越來越強的光滑性，k=2n時有n階可導，k=2n+1時有n階連續可導(並不確定對不對，口胡一下)
當然你甚至可以一勞永逸一波，來個
e^(-1/x) * sin(1/x)
定義域上連續且可導的函式，其導函式一定連續嗎？
黎弗曼 連續且可導的函式，其導函式不一定連續，因為可導函式的導函式也可能含有振盪間斷點。比如下面這個常見的函式 1 eeimg 1 1 eeimg 1 可以看出，當n 2時，f x 的導函式f x 是連續的 當1可見，雖然大多數 可導函式 的導函式是 連續函式 但有些特殊的函式，比如某些原本含有振盪...
函式趨於無窮時有極限，導函式存在，那在無窮遠處極限一定為0麼？
寨森Lambda CDM 修改 我大概知道題主是什麼意思了。題主的意思是 函式f x 在無窮遠處有極限，且導函式f x 在無窮遠處 的極限 也存在，那麼f x 在無窮遠處的極限是0麼?如果這麼理解，這句話是真命題。用反證法。設x趨近於正無窮時，lim f x c，lim f x k，其中c和k是常數...
求導前是否需要先證明這個函式是連續可導的？
首先，如果是中學，教材不涉極限，出題時涉及的基本初等函式都在定義域內連續可導，因此可以直接公式求導。基本初等函式包括指數函式 對數函式 冪函式 三角函式 反三角函式 常函式。求導中只要注意定義域限制就ok。然後，由基本初等函式經過加減乘除 復合運算得到的初等函式，也可以直接公式求導 只比上一條多了加...