在函式y e x上是否存在任意三點構成三角形，且為鈍角三角形？若存在請予以證明，若不存在，請說明理由？

1樓：陸維安

有更加一般的結論：對於函式f(x)，f'(x)在[m,n]上連續，且f'(x)>0，那麼f(x)在(m,n)上任意三點必然不能構成直角或銳角三角形。

（用不來公式編輯器辣眼睛抱歉啦）

函式f(x)，f'(x)在[m,n]上連續，x1,x2,x3∈(m,n)，其中x1令A（x1,f(x1)），B（x2,f(x2)），C（x3,f(x3)）

根據拉格朗日中值定理

存在ε1∈(x1,x2)，ε2∈(x2,x3)，使得

f'(ε1)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=kAB，f'(ε2)=(f(x3)-f(x2))/(x3-x2)=kBC

又f'(x)>0，所以kAB，kBC的均大於0。

①f'(ε1)=f'(ε2)，直線AB，BC均經過B點、斜率相同，那麼三點共線

②f'(ε1)≠f'(ε2)，cos∠ABC=向量BA·向量BC/|BA||BC|，向量BA·向量BC=(x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x3)-f(x2))

|BA|,|BC|>0，x1-x2<0，x3-x2>0，f(x1)-f(x2)<0，f(x3)-f(x2)>0，那麼cos∠ABC<0，三角形ABC是鈍角三角形。QED

2樓：靈劍

任意嚴格單調上（下）凸曲線上的不重疊的三個點都會構成乙個鈍角三角形，以嚴格單調增且嚴格下凸的曲線為例，其他情況可以通過關於x映象、關於y映象或者兩者組合來轉換到這種情況，x映象改變增減不改變上下凸，y映象同時改變增減和上下凸。

證明——真的需要證明嗎，設三點按x座標順序為A,B,C，則AB、BC的傾角都在0 - 90°開區間（用單調增），且BC傾角更大（用下凸很容易證明），角∠ABC的補角是BC的傾角減去AB的傾角，一定是個銳角，所以∠ABC是個鈍角，搞定。

3樓：二三得八

實際上有更嚴格的結論：這樣的三點必組成鈍角三角形，而不可能組成銳（直）角三角形或三點共線。

證明：設取到的三點為(a, )、(b, )、(c, )，其中a，BC、AC的表示式也類似。由餘弦定理，cos∠ABC= ，其中分母為兩長度之積的2倍恒為正。

記其分子為f，則轉換為座標得f== = 。

因為a0，b-c<0，故第一項為負；因為單調遞增，故第二項同樣為負。故f<0，所以cos∠ABC<0，所以∠ABC為鈍角或平角。

又因為恒為正，故曲線上不存在共線的三點，故∠ABC不可能為平角，只能是鈍角。命題得證。